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第1章 距离空间 1

1.1距离空间的定义及例 1

1.2序列极限 4

1.3开集、闭集与连续映射 5

1.4完备性、稠密、可分及列紧性 8

1.4.1距离空间的完备性 8

1.4.2距离空间的稠密、可分及列紧性 10

1.5拓扑空间基本概念 12

1.6压缩映射原理及其应用 14

1.6.1压缩映射及不动点 14

1.6.2巴拿赫压缩映射定理 16

1.6.3应用 18

1.7附录 22

第2章 线性赋范空间 28

2.1线性空间的定义及例 28

2.2空间的基及维数 30

2.3线性空间的同构 32

2.4子空间、线性流形及凸集 33

2.5线性赋范空间 36

2.6距离空间与赋范空间 39

2.6.1距离与范数的差异 40

2.6.2巴拿赫空间 41

2.6.3巴拿赫空间的级数 42

2.6.4乘积空间 42

2.7线性赋范空间的基本性质 42

2.8有限维线性赋范空间 43

第3章 内积空间 47

3.1内积空间 47

3.2希尔伯特空间 51

3.3正交分解和投影定理 52

3.4傅里叶级数 61

3.4.1希尔伯特空间的正交基和正交化方法 61

3.4.2傅里叶级数展开 62

3.5正交补 65

3.6最小范数问题 66

3.7索波列夫空间 67

3.7.1空间H1[a，b] 67

3.7.2空间H1（G）和空间H10（G） 68

3.7.3嵌入定理 69

第4章 有界线性算子 72

4.1线性算子的定义 72

4.2算子的范数 77

4.3投影算子 81

4.4有界线性算子空间 82

4.5逆算子 84

4.6共鸣定理 88

第5章 有界线性泛函、共轭空间及线性算子的谱 90

5.1泛函的概念及共轭空间 90

5.2某些空间的共轭空间 91

5.2.1 n维欧氏空间 91

5.2.2希尔伯特空间 93

5.2.3分布空间 94

5.3线性泛函的延拓 94

5.4二次共轭空间与弱收敛 99

5.5共线与正交 101

5.6共轭算子 102

5.6.1共轭算子的概念 102

5.6.2自共轭算子及双线性型 104

5.6.3值域和零空间的关系 108

5.7线性算子的谱分析 112

5.7.1谱的基本概念 112

5.7.2恒等算子的分解 113

5.7.3谱的某些性质 115

5.7.4紧算子、正规和自共轭算子谱性质 118

5.7.5无界算子的谱分析 121

第6章 泛函的极值及算子方程的弱形式 123

6.1算子的微分 123

6.1.1伽脱微分 123

6.1.2弗里奇微分 125

6.1.3有限增量公式和平均值定理 127

6.1.4泰勒公式 128

6.2最优问题 130

6.2.1极值点的必要条件——欧拉方程 130

6.2.2自然边界条件 135

6.2.3极值点的充分条件 138

6.2.4具有等式约束的极值问题 139

6.2.5罚函数法 148

6.2.6具有不等式约束的极值问题 151

6.3算子方程的弱形式 154

6.3.1有势算子 154

6.3.2泊松方程的弱形式 156

6.3.3弹性力学基本方程的弱形式 157

第7章 算子方程弱形式解的存在和唯一性 166

7.1二次泛函的最小值 166

7.1.1算子方程和泛函最小值点的等价性 166

7.1.2能量空间 169

7.2方程中已知量的光滑性条件 172

7.3弱形式方程解存在唯一定理 173

7.3.1 Friedrich、Poincar6及Korn不等式 173

7.3.2 Lax-Milgram定理 176

7.4非齐次边界条件 182

7.5诺依曼边值问题 188

7.5.1可解性条件 189

7.5.2高阶方程可解性条件 190

7.6具有等式约束的边值问题 193

第8章 变分近似方法 196

8.1李滋法 196

8.1.1方法的表述 197

8.1.2收敛和稳定性 199

8.1.3应用 201

8.2加权余值法 216

8.2.1布波诺夫-伽罗金法 217

8.2.2最小二乘法 223

8.2.3配点法和子域法 227

8.3半解析法 229

8.3.1康托罗维奇法 229

8.3.2楚瑞夫茨法 235

8.4与时间有关的问题 237

8.4.1引言 237

8.4.2抛物型方程 239

8.4.3双曲型方程 241

8.4.4时间离散方法 244

第9章 有限单元法 253

9.1有限单元法的一般性质 253

9.1.1引言 253

9.1.2域的剖分 254

9.1.3有限单元插值函数 256

9.1.4单元连通性（单元组装） 257

9.1.5有限单元解的存在和收敛 259

9.2一维二阶微分方程 259

9.2.1基本方程 259

9.2.2李滋有限单元法 260

9.2.3李滋有限单元法的应用 268

9.2.4加权余值有限单元法 271

9.3一维四阶方程 276

9.3.1工程中的四阶常微分方程 276

9.3.2李滋法 276

9.4与时间有关的一维问题 280

9.5有限单元解的误差 281

9.5.1引言 281

9.5.2收敛误差 281

9.5.3解的精度 282

9.6二维二阶方程 285

9.6.1基本方程 285

9.6.2李滋有限单元法 286

9.6.3插值函数 289

9.6.4解的存在性和误差估计 292

9.6.5例子 293

9.6.6加权余值有限单元法 299

9.7二阶偏微分方程组 301

9.7.1平面弹性 301

9.7.2二维不可压缩流体 303

9.7.3弹性板弯曲 306

9.8杂交元和拟协调元 311

9.8.1杂交元 311

9.8.2拟协调元 313

9.8.3半解析有限单元法 321

参考文献 332