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第1章 数学物理方程的定解问题 1

1.1 数学物理方程的一般概念 1

1.1.1 一些基本概念 1

1.1.2 三类基本方程 2

1.1.3 简单方程的一些解法 2

1.2 数学物理方程的导出 3

1.2.1 三类方程的导出 3

1.2.2 三类方程与定解条件的特点 5

1.2.3 地球物理学中的三类方程 6

1.3 数学物理方程的定解问题 7

1.3.1 定解问题 7

1.3.2 初值问题 7

1.3.3 边值问题 8

1.3.4 混合问题 9

1.4 定解问题的适定性与广义解 10

1.4.1 定解问题的广义解 10

1.4.2 三类方程的适定性讨论 11

1.4.3 叠加原理（独立作用原理） 11

1.4.4 齐次化原理（冲量原理） 12

【阅读材料】曲线坐标系 15

习题1 16

第2章 微分方程的固有值问题 18

2.1 微分方程初值问题的求解方法 18

2.1.1 齐次常微分方程的常用解法 18

2.1.2 非齐次常微分方程的常用解法 19

2.1.3 去掉一阶项的方法 21

2.1.4 初值问题的约束条件法 21

2.1.5 初值问题的积分变换法 22

2.1.6 初值问题的基本解方法（冲量原理法） 22

2.1.7 初值问题的格林函数法 23

2.2 微分方程边值问题的幂级数解法 23

2.2.1 微分方程的幂级数解法 23

2.2.2 贝塞尔方程的幂级数解法 24

2.3 二阶微分方程的固有值问题 25

2.3.1 固有值问题 25

2.3.2 S-L方程的固有值问题 25

2.3.3 S-L方程的边界条件的讨论 26

2.3.4 S-L方程的固有值与固有函数 27

2.3.5 固有值问题的例题 28

2.4 正交函数与正交多项式 29

2.4.1 正交函数与正交多项式的概念 29

2.4.2 正交多项式的部分性质 30

2.4.3 正交多项式的构造 30

2.4.4 几种常见的正交多项式 30

【阅读材料】一些常见的特殊函数 32

习题2 33

第3章 波动问题的行波法 34

3.1 二阶线性方程的分类与化简 34

3.1.1 两个自变量方程的分类与化简 34

3.1.2 多个自变量方程的分类与化简 36

3.2 一维柯西问题的行波法 36

3.3 半无界波动问题的行波法 40

3.4 高维波动问题的行波法 43

3.4.1 三维波动方程的泊松公式 43

3.4.2 二维波动方程的行波法 46

3.5 非齐次波动问题的基尔霍夫公式 47

习题3 49

第4章 直角坐标下的分离变量法 50

4.1 基本定解问题的分离变量法 50

4.1.1 弦振动方程的分离变量法 50

4.1.2 热传导方程的分离变量法 52

4.2 平面问题的分离变量法 54

4.2.1 二维发展问题的分离变量法 54

4.2.2 二维调和方程的分离变量法 55

4.3 非齐次方程的分离变量法 57

4.3.1 固有函数法 57

4.3.2 齐次化方法（冲量原理法） 59

4.3.3 特解方法 60

4.4 非齐次边界条件的齐次化方法 62

4.4.1 取插值函数的齐次化方法 62

4.4.2 顾及方程的齐次化方法 63

4.4.3 “双”齐次化方法 65

4.5 一般定解问题的分离变量法 67

4.5.1 一维定解问题的分离变量法 67

4.5.2 多维问题对时间的分离方法 69

4.5.3 直角坐标下高维分离变量法 69

【阅读材料】无界问题的分离变量法 70

习题4 71

第5章 柱坐标下的分离变量法（柱函数） 73

5.1 极坐标下的分离变量法 73

5.1.1 二维调和方程的分离变量法 73

5.1.2 二维圆形域内发展方程的分离变量法 74

5.2 柱坐标下的分离变量法 75

5.2.1 柱坐标下△u=0的分离变量法 75

5.2.2 柱坐标下的Δu＋λu=0分离变量 77

5.2.3 柱坐标下的△u＋λu=0分离变量（λ为常数） 77

5.3 贝塞尔函数 78

5.3.1 贝塞尔函数的定义 78

5.3.2 贝塞尔函数的（部分）基本性质 78

5.3.3 贝塞尔函数的递推公式 79

5.3.4 母函数公式 80

5.4 贝塞尔函数的固有性质 82

5.4.1 加法公式 82

5.4.2 平面波的展开公式 82

5.4.3 与积分相关的公式 83

5.4.4 贝塞尔函数的固有性质 84

5.5 其他贝塞尔函数 85

5.5.1 第二类贝塞尔函数 85

5.5.2 第三类贝塞尔函数 86

5.5.3 虚宗量的贝塞尔函数 86

5.5.4 半奇贝塞尔函数 87

5.5.5 球贝塞尔函数 87

5.5.6 变形贝塞尔函数 89

5.6 柱函数在定解问题中的应用 91

习题5 95

第6章 球坐标下的分离变量法（球函数） 97

6.1 球坐标下的分离变量法 97

6.1.1 球坐标下△u=0的分离变量法 97

6.1.2 球坐标下的△u＋λu=0分离变量 98

6.2 勒让德函数 99

6.2.1 勒让德函数的表示方法 99

6.2.2 勒让德函数的简单性质 100

6.2.3 第二类勒让德函数 100

6.2.4 母函数公式 101

6.2.5 递推公式 102

6.3 勒让德函数的固有性质 103

6.3.1 勒让德方程的固有值问题 103

6.3.2 正交性质 104

6.3.3 展开性质 105

6.4 球函数 106

6.4.1 连带勒让德函数 106

6.4.2 连带勒让德函数的性质 107

6.4.3 连带勒让德函数的固有性质 107

6.4.4 球函数的表示方法 108

6.4.5 球函数的固有性质 108

6.4.6 一般函数的球谐展开 109

6.4.7 加法公式 110

6.5 球函数在边值问题中的应用 111

6.5.1 球函数与边值勤问题的解 111

6.5.2 求解边值问题的例题 111

【阅读材料】高维定解问题分离变量法的综合（＋时间） 118

习题6 119

第7章 无界问题的积分变换法 121

7.1 无界问题的傅里叶积分变换法 121

7.1.1 傅里叶变换及其性质 121

7.1.2 传导方程的求解 122

7.1.3 波动方程的求解 124

7.1.4 调和方程的求解 125

7.2 半无界问题的拉普拉斯积分变换法 125

7.2.1 拉普拉斯变换及其性质 125

7.2.2 柯西问题的拉普拉斯变换法 126

7.2.3 半无界问题的拉普拉斯变换法 127

7.3 其他积分变换法 128

7.3.1 傅里叶正（余）弦变换法 128

7.3.2 调和方程的积分变换法 129

7.3.3 其他积分变换的方法 130

7.3.4 用积分变换求解定解问题中的一些技巧 132

7.3.5 广义积分变换法 133

【阅读材料】常用积分变换及其部分性质 134

【阅读材料】卷积及其性质 135

习题7 136

第8章 发展问题的基本解方法 138

8.1 基本解的概念 138

8.1.1 从冲量原理谈起 138

8.1.2 基本解的概念 138

8.2 微分方程的基本解方法 139

8.2.1 微分方程基本解的概念 139

8.2.2 微分方程基本解的常用求法 140

8.2.3 几类方程的基本解 140

8.2.4 微分方程的基本解法 142

8.3 初值问题的基本解方法 143

8.3.1 传导型初值问题的基本解的求法 143

8.3.2 传导型初值问题的基本解方法 143

8.3.3 波动型初值问题的基本解的求法 145

8.3.4 波动型初值问题基本解方法 146

8.4 混合问题的基本解方法 148

8.4.1 传导型混合问题的基本解方法 148

8.4.2 波动型混合问题的基本解方法 149

8.4.3 混合问题基本解方法的例题 150

习题8 152

第9章 格林函数法 153

9.1 格林函数的概念 153

9.1.1 格林函数的概念 153

9.1.2 格林函数与基本解的比较 153

9.1.3 格林公式 155

9.2 柯西问题的格林函数法 155

9.2.1 传导型柯西问题的格林函数方法 155

9.2.2 波动方程柯西问题的格林函数方法 157

9.3 混合问题的格林函数法 158

9.3.1 混合问题格林函数的概念 158

9.3.2 有界传导问题的格林函数方法 159

9.3.3 有界波动问题的格林函数方法 160

9.3.4 混合问题的格林函数法的例题 161

9.4 边值问题的格林函数法 163

9.4.1 边值问题格林函数概念的再讨论 163

9.4.2 边值问题格林函数与边值问题的解 164

9.5 格林函数的求解方法 166

9.5.1 求解边值问题格林函数的镜像原理方法 166

9.5.2 求解边值问题格林函数分离变量方法 168

9.6 第一边值问题的格林函数解法 169

9.7 第二、第三球边值问题的求解方法 171

9.7.1 有用的公式 171

9.7.2 内部边值问题的解 172

9.7.3 外部边值问题的解 173

习题9 177

参考文献 179

附录 数学物理方程求解方法讨论 180

附录A 三类定解问题及其解的比较 180

附录B 微分方程的直接积分方法讨论 183

后记 189