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目录 1

第一章　欧氏平面的拓广 1

§1　中心射影法 1

1.1　什么是射影几何学 1

1.2　中心射影法 2

§2　理想点和理想直线 3

习题一 7

第二章　平面射影几何的基本概念（上） 8

§1　射影平面 8

1.1 引言 8

1.2　射影平面的定义 13

§2　平面图形 平面对偶原理 16

2.1　点列和线束（一维基本图形） 16

2.2　点场和线场（二维基本图形） 21

2.3　平面对偶原理 21

2.4　笛沙格定理 23

§3　射影坐标 25

3.1　点列上（或线束里）的射影坐标系 25

3.2　平面射影坐标系 29

3.3　坐标变换 31

（1）直线上的坐标变换公式 31

（2）平面坐标变换公式 34

§4　射影变换 45

4.1　映射 45

4.2　变换群 47

4.3　直线ξ到ξ′上的射影变换 51

4.4　平面ω到ω′的射影变换 57

§5 交比 59

5.1　交比的定义 60

5.2　交比的性质 64

5.3　交比的几种特殊情况 67

（1）调和共轭点对与调和共轭直线对 70

5.4　用交比解释的几个概念 70

（2）简化的射影性定义 72

（3）分隔和区间 73

（4）平面上点的射影坐标的意义 77

§6　初等几何中的应用 77

本章小结 81

习题二 81

第三章　平面射影几何的基本概念（下） 90

§1　透视 90

§2　完全四点形的调和性质 97

§3　直线（线束）到它自身的射影变换 99

§4　对合 103

§5　第二笛沙格定理 110

§6　直射 116

6.1　二平面之间保持结合关系的一一映射 116

6.2　平面ω到它自身的直射变换的二重元素 119

6.3　透射 132

＊6.4　合射 140

§7　初等几何中的应用 145

本章小结 152

习题三 154

第四章　配极变换和圆锥曲线 160

§1　对射变换和配极变换 160

1.1　对射变换 160

1.2　配极变换 164

1.3　共轭点和共轭直线 165

1.4　自共轭点和自共轭直线 167

§2　配极共轭元素的对合 171

2.1　配极变换在点列和线束中的诱导对合 171

2.2　自极三点形配极变换的标准形 174

2.3　配极变换的类型 176

§3　点圆锥曲线和线圆锥曲线 182

3.1　圆锥曲线的定义 182

3.2　圆锥曲线与直线的关系 183

3.3　圆锥曲线方程的另一个简化形式 187

§4　斯丹纳定理和巴斯加定理 189

§5　圆锥曲线的直射变换 196

5.1　把一个圆锥曲线映射为第二个圆锥曲线的 197

直射变换 197

5.2　把圆锥曲线映射为它自身的直射变换 199

5.3　圆锥曲线到它自身的射影变换 201

5.4　圆锥曲线上的射影变换与直线上的射影变换 205

＊5.5　圆锥曲线上的对合 210

＊§6　圆锥曲线束 214

6.1　退化的圆锥曲线和奇异点 214

6.2　圆锥曲线束 217

6.3　推广的巴斯加定理 219

§7　初等几何中的应用 220

7.1　关于圆的极点和极线 220

7.2　关于巴斯加定理 222

本章小结 223

习题四 225

第五章　仿射几何 230

§1　仿射几何的内容仿射群 230

1.1　仿射平面和仿射变换 230

1.2　仿射变换公式的推导 231

1.3　仿射比 234

1.4　仿射中心 235

§2　圆锥曲线的仿射理论 236

2.1　圆锥曲线的仿射分类 236

2.2　圆锥曲线的中心和直径 238

2.3　圆锥曲线的仿射方程 241

＊§3　仿射么模群　面积 243

本章小结 247

习题五 248

1.1　绝对形　垂直线的射影定义 250

§1　相似变换 250

第六章　欧几里得几何学 250

1.2　相似变换 253

§2　正交变换 257

2.1　直角坐标系 257

2.2　正交变换的定义 258

2.3　正交变换下的不变量 259

＊§3　虚元素的引进虚圆点 263

3.1　虚元素的引进 263

3.2　虚圆点 264

3.3　迷向直线拉盖尔公式 265

3.4　例题 267

3.5　圆锥曲线的轴、焦点和准线 269

§4　欧氏几何与射影、仿射几何的比较 271

习题六 274

＊第七章　平面射影几何基础 276

§1　公理法简介 276

§2　平面射影几何的公理体系 282

2.1　结合公理 283

2.2　顺序公理 286

2.3　连续公理 289

2.4　平面对偶原理 289

§3　公理体系的三个基本问题 290

3.1　无矛盾性 290

3.2　完备性 291

3.3　独立性 291

＊第八章　非欧几何概要 293

§1 自同构群 293

§2　双曲运动群 295

2.1　关于圆锥曲线C的自同构的性质 295

2.2　双曲几何里的不变量 298

2.3　罗巴切夫斯基几何的射影模型 301

§3　椭圆运动群 302

附录　关于（2.5.22）的证明 304