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第一章 绪论 1

1.1计算方法研究的对象和特点 1

1.2误差的来源及基本概念 3

1.2.1误差的来源 3

1.2.2误差的概念和有效数字 4

1.2.3数值运算的误差估计 7

1.3选用和设计算法应注意的问题 8

1.3.1选用数值稳定的计算公式 8

1.3.2防止两个相近数相减 10

1.3.3防止大数“吃掉”小数 10

1.3.4简化计算步骤，减少运算次数 11

小结 11

习题一 11

第二章 非线性方程的数值解法 13

2.1二分法 13

2.1.1数学理论基础 13

2.1.2二分法的方法介绍 14

2.1.3计算步骤与程序框图 15

2.2迭代法 17

2.2.1迭代法的基本思想 17

2.2.2迭代法的收敛条件 18

2.2.3误差估计式 20

2.2.4计算步骤和程序框图 21

2.2.5迭代法的收敛阶 22

2.3牛顿（Newton）法 25

2.3.1方法介绍 25

2.3.2牛顿法收敛的充分条件 26

2.3.3牛顿法的收敛阶 28

2.3.4计算步骤和程序框图 29

2.3.5双点弦截法（快速弦截法） 31

小结 34

习题二 35

第三章 解线性代数方程组的直接法 37

3.1高斯（Gauss）消去法 38

3.1.1顺序消去法 38

3.1.2主元消去法 42

3.2矩阵的三角分解 45

3.2.1矩阵的杜利特尔（Doolittle）分解 45

3.2.2高斯消去法与矩阵的三角分解 48

3.2.3杜利特尔分解法 48

3.3解三对角方程组的追赶法 51

3.3.1三对角阵能进行三角分解的条件 52

3.3.2追赶法的递推公式 53

3.4平方根法和改进的平方根法 55

3.4.1平方根法的理论基础 55

3.4.2平方根法的计算公式与计算步骤 56

3.4.3改进的平方根法 58

3.5线性代数方程组的性态 60

3.5.1向量范数 60

3.5.2矩阵范数 62

3.5.3线性代数方程组的性态 65

小结 69

习题三 69

第四章 解线性代数方程组的迭代法 72

4.1三种基本的迭代方法 72

4.1.1雅可比（Jacobi）迭代法 72

4.1.2高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 74

4.1.3超松弛迭代法（SOR方法） 77

4.2迭代法的收敛条件 80

4.2.1迭代法收敛的概念 80

4.2.2迭代法收敛的判定定理 81

小结 90

习题四 91

第五章 插值与拟合 94

5.1插值的基本概念 94

5.1.1插值问题 94

5.1.2插值多项式的存在唯一性 95

5.1.3插值余项 96

5.2拉格朗日（Lagrange）插值 97

5.2.1拉格朗日插值基函数 97

5.2.2拉格朗日插值多项式 98

5.3牛顿插值 101

5.3.1差商及性质 101

5.3.2牛顿插值多项式 103

5.4差分与等距节点插值 106

5.4.1差分及性质 106

5.4.2等距节点的牛顿插值 107

5.5埃尔米特（Hermite）插值 110

5.6分段低次插值 114

5.6.1高次插值的缺陷 114

5.6.2分段线性插值 115

5.6.3分段三次埃尔米特插值 117

5.7三次样条插值 119

5.7.1插值问题与插值条件 119

5.7.2三弯矩方程 120

5.8曲线拟合的最小二乘法 124

5.8.1曲线拟合 124

5.8.2几种具体的拟合曲线类型 127

小结 130

习题五 130

第六章 数值积分 134

6.1代数精度与插值型求积公式 134

6.1.1代数精度 134

6.1.2插值型求积公式 136

6.2牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 139

6.2.1牛顿-柯特斯公式 139

6.2.2几个低阶求积公式 141

6.3复化求积公式 145

6.3.1复化梯形公式 146

6.3.2复化辛卜生公式 147

6.4龙贝格（Romberg）算法 150

6.4.1复化梯形公式逐次分半算法 150

6.4.2李查逊（Richardson）外推法 152

6.4.3龙贝格积分法 154

6.5高斯型求积公式 157

6.5.1高斯型求积公式的定义 157

6.5.2高斯型求积公式的建立 159

6.6二重积分的数值求积 163

6.6.1积分区域为矩形域情形 163

6.6.2积分区域为一般情形 166

习题六 166

第七章 常微分方程数值解 170

7.1引言 170

7.2欧拉（Euler）方法 171

7.2.1欧拉方法的推导 171

7.2.2隐式公式及改进的欧拉方法 174

7.2.3误差分析 176

7.3龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 177

7.3.1龙格-库塔方法的构造 177

7.3.2龙格-库塔方法的推导 178

7.4单步方法的收敛性和稳定性 182

7.4.1单步法的收敛性 182

7.4.2单步法的稳定性 185

7.5线性多步法 186

7.5.1利用待定系数法构造线性多步法 186

7.5.2利用数值积分构造线性多步法 187

7.5.3亚当姆斯（Adams）公式 187

7.6常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 191

7.6.1一阶方程组 191

7.6.2化高阶方程为一阶方程组 193

小结 194

习题七 195

附录一 上机试验 197

附录二 自测题一 229

附录三 自测题二 231

习题参考答案 233

参考文献 243