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第七章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

三、向量在轴上的投影 6

习题7—1 7

第二节 空间直角坐标系与向量的坐标 7

一、空间直角坐标系 7

二、向量的坐标与空间点的坐标 8

三、向量线性运算的坐标表示 10

四、向量的模与方向的坐标表示 12

习题7—2 14

第三节 数量积 向量积 混合积 16

一、两向量的数量积 16

二、两向量的向量积 19

三、三向量的混合积 22

习题7—3 23

第四节 平面及其方程 25

一、平面的点法式方程 25

二、平面的一般方程 26

三、两平面的夹角 28

四、点到平面的距离 30

习题7—4 31

第五节 空间直线及其方程 31

一、空间直线的对称式方程与参数方程 31

二、空间直线的一般方程 33

三、两直线的夹角 34

四、直线与平面的夹角 35

五、平面束及其方程 37

习题7—5 38

第六节 曲面及其方程 39

一、曲面方程的概念 39

二、柱面与旋转曲面 41

三、二次曲面 46

四、空间曲面的参数方程 50

习题7—6 51

第七节 空间曲线及其方程 52

一、空间曲线的一般方程 52

二、空间曲线的参数方程 53

三、空间曲线在坐标面上的投影 54

习题7—7 58

第八节 曲线的向量方程与向量值函数 59

一、向量值函数的极限与连续 60

二、向量值函数的导数 60

习题7—8 62

第八章 多元函数微分法及其应用 63

第一节 多元函数的基本概念 63

一、区域 63

二、多元函数的概念 66

三、多元函数的极限 69

四、多元函数的连续性 71

习题8—1 73

第二节 偏导数 74

一、偏导数的定义与计算 74

二、偏导数的几何解释 77

三、偏导数的存在性与函数连续性的关系 77

四、高阶偏导数 79

习题8—2 80

第三节 全微分 81

一、全微分的概念 81

二、函数可微的条件 82

三、全微分在近似计算中的应用 85

习题8—3 87

第四节 多元复合函数的求导法则 88

一、链式法则 88

二、全微分形式不变性 93

习题8—4 94

第五节 隐函数的微分法 95

一、由一个方程确定的隐函数的微分法 95

二、由方程组确定的隐函数的微分法 98

习题8—5 101

第六节 微分法在几何上的应用 102

一、空间曲线的切线与法平面 102

二、曲面的切平面与法线 104

习题8—6 108

第七节 方向导数与梯度 109

一、方向导数 109

二、梯度 113

习题8—7 117

第八节 多元函数的极值及其求法 118

一、多元函数的极值 118

二、最小值与最大值 121

三、条件极值与拉格朗日乘数法 123

习题8—8 127

第九节 最小二乘法 128

习题8—9 132

第九章 重积分 133

第一节 二重积分的概念与性质 133

一、二重积分的概念 133

二、二重积分的性质 136

习题9—1 137

第二节 二重积分的计算法 138

一、利用直角坐标计算二重积分 138

二、利用极坐标计算二重积分 145

三、二重积分的换元法 149

习题9—2 153

第三节 三重积分的概念与计算 156

一、三重积分的概念 156

二、直角坐标系下三重积分的计算 157

三、柱面坐标系下三重积分的计算 161

四、球面坐标系下三重积分的计算 163

习题9—3 166

第四节 重积分的应用 168

一、曲面的面积 169

二、平面薄片与空间物体的质心 171

三、转动惯量 174

四、引力 175

习题9—4 176

第十章 曲线积分与曲面积分 178

第一节 对弧长的曲线积分 178

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 178

二、对弧长的曲线积分的计算法 180

习题10—1 183

第二节 对坐标的曲线积分 184

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 184

二、对坐标的曲线积分的计算法 187

三、两类曲线积分之间的关系 191

习题10—2 192

第三节 格林公式及其应用 194

一、格林公式 194

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 199

三、全微分求积 203

四、全微分求积的应用—一阶全微分方程及其解法 205

习题10—3 207

第四节 对面积的曲面积分 208

一、对面积的曲面积分的概念与性质 208

二、对面积的曲面积分的计算法 210

习题10—4 212

第五节 对坐标的曲面积分 213

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 213

二、对坐标的曲面积分的计算法 218

三、两类曲面积分之间的关系 222

习题10—5 224

第六节 高斯公式 通量与散度 224

一、高斯公式 224

二、通量与散度 228

习题10—6 230

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 232

一、斯托克斯公式 232

二、环流量与旋度 236

习题10—7 237

第十一章 无穷级数 239

第一节 常数项级数的概念与性质 239

一、常数项级数的概念 239

二、数项级数的基本性质 242

习题11—1 245

第二节 正项级数及其审敛法 245

一、比较审敛法 246

二、比值审敛法与根值审敛法 249

习题11—2 251

第三节 任意项级数及其审敛法 253

一、交错级数及其审敛法 253

二、绝对收敛与条件收敛 255

三、绝对收敛级数的性质 257

习题11—3 258

第四节 幂级数 259

一、函数项级数的概念 259

二、幂级数及其敛散性 260

三、幂级数的运算与性质 264

习题11—4 267

第五节 函数展开成幂级数 268

一、泰勒级数 268

二、函数展开为幂级数 271

习题11—5 276

第六节 函数幂级数展开式的应用 276

一、近似计算 276

二、欧拉公式的证明 278

三、微分方程的幂级数解法 279

习题11—6 281

第七节 傅里叶级数 282

一、三角级数与三角函数系的正交性 282

二、函数的傅里叶级数及其收敛定理 284

三、函数展开为傅里叶级数 287

习题11—7 295

第八节 周期为2l的函数的傅里叶级数 296

习题11—8 302

习题答案 304

主要参考书目 319