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第一章 误差 1

1.1 误差的来源 1

1.2 绝对误差、有效数字和相对误差限 2

1.3 函数运算的误差 6

1.4 算法设计中应注意的问题 9

1.4.1 减少运算次数 9

1.4.2 防止相近数做减法，以免降低有效数字的位数 10

1.4.3 防止大数“吃”小数 11

1.4.4 防止误差的扩散 12

习题1 15

第二章 插值逼近 17

2.1 问题的提法 17

2.2 拉格朗日插值法 20

2.2.1 两点线性插值 21

2.2.2 三点二次插值多项式 22

2.2.3 n+1个节点的n次插值多项式 24

2.2.4 n次插值的余项估计 26

2.3 牛顿（Newton）插值法 28

2.3.1 牛顿插值法的基本思想 28

2.3.2 牛顿插值公式 29

2.3.3 牛顿插值公式的计算过程 34

2.4 等距节点牛顿插值公式 37

2.4.1 差分及其性质 37

2.4.2 等距节点插值公式 40

2.4.3 牛顿前插、后插公式的计算过程 41

2.5 埃尔米特（Hermite）插值公式 43

2.5.1 埃尔米特插值公式 44

2.5.2 误差分析 45

2.6 插值逼近的收敛性 49

2.7 分段插值及三次样条插值 52

2.7.1 分段线性插值 52

2.7.2 分段三次埃尔米特插值 55

2.7.3 三次样条插值 56

习题2 59

第三章 函数逼近 62

3.1 预备知识及问题的提出 62

3.1.1 预备知识 63

3.1.2 问题的提出 67

3.2 最佳一致逼近 69

3.2.1 最佳一致逼近元的特征 69

3.2.2 存在唯一性 73

3.2.3 切比晓夫多项式在最佳一致逼近中的应用 79

3.3 内积空间上的最佳逼近 82

3.3.1 最佳逼近元的特征 83

3.3.2 存在唯一性及构造方法 83

3.3.3 误差估计 85

3.4 最佳平方逼近 86

3.4.1 函数的最佳平方逼近 86

3.4.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用 88

3.4.3 R空间上的最佳平方逼近 90

3.4.4 最小二乘曲线拟合 91

习题3 97

第四章 数值积分与数值微分 99

4.1 数值积分 99

4.2 牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 104

4.2.1 公式的建立 104

4.2.2 常用的N—C公式 107

4.2.3 N—C公式的代数精确度 108

4.2.4 N—C公式的误差分析 109

4.2.5 N—C公式的数值稳定性 111

4.3 低阶N—C公式的复合 112

4.3.1 引言 112

4.3.2 复合梯形公式 113

4.3.3 复合抛物线公式 116

4.4龙 伯格（Romberg）积分法 119

4.4.1 里查逊外推法 119

4.4.2 龙伯格积分法 122

4.4.3 龙贝格积分法的计算步骤 123

4.5 高斯（Gauss）型求积公式 125

4.5.1 高斯型求积公式一般认识 125

4.5.2 高斯型求积公式的建立方法 128

4.5.3 几种常见的高斯求积公式 132

习题4 138

第五章 常微分方程的数值解法 141

5.1 预备知识及算法概述 141

5.1.1 预备知识 141

5.1.2 算法概述 143

5.2 欧拉（Euler）算法 144

5.2.1 欧拉（Euler）算法的建立 144

5.2.2 误差分析 145

5.2.3 稳定性 149

5.2.4 计算过程 154

5.3 龙格—库特（Runge—Kutta）算法 156

5.3.1 Runge—Kutta方法的一般形式 156

5.3.2 RK方法的绝对稳定性 163

5.4 一般显式一步法 165

5.5 亚当姆斯（Adams）算法 169

5.5.1 算法思想 169

5.5.2 亚当姆斯显式算法 169

5.5.3 亚当姆斯隐式算法 171

5.6 一般线性多步法 173

5.6.1 线性多步法的一般问题 173

5.6.2 线性多步法的收敛性和稳定性 177

5.7 一阶方程组的数值算法 181

5.7.1 数值算法推广到方程组 181

5.7.2 刚性方程组介绍 182

习题5 183

第六章 线性代数方程组的直接解法 185

6.1 高斯消去法 186

6.1.1 高斯消去法 186

6.1.2 矩阵三角分解 190

6.1.3 计算工作量 194

6.1.4 编程注意事项及流程图 196

6.2 高斯主元素消去法 198

6.2.1 高斯消去法进行到底的条件 198

6.2.2 主元素选取的必要性 201

6.2.3 列主元素消去法 203

6.2.4 完全主元素消去法 205

6.3 高斯消去法的变形 207

6.3.1 高斯—约当消去法 207

6.3.2 直接三角分解法 211

6.3.3 平方根法 214

6.3.4 追赶法 218

6.4 范数 221

6.4.1 向量的范数 222

6.4.2 方阵的范数 225

6.4.3 谱半径、谱范数与F-范数 227

6.5 误差分析 228

6.5.1 扰动分析 229

6.5.2 方阵的条件数 234

6.6 超定线性方程组的最小二乘解 237

6.6.1 线性最小二乘拟合 237

6.6.2 法方程组 239

6.6.3 矩阵的正交三角分解 242

6.6.4 用正交化方法求最小二乘解 244

习题6 246

第七章 线性代数方程组的迭代解法 249

7.1 引言 249

7.2 Jacobi迭代法 252

7.3 Gauss-Seidel迭代法 255

7.4 迭代法的收敛条件 257

7.5 逐次超松弛迭代法 264

7.6 最速下降法 268

7.6.1 等价问题与几何意义 269

7.6.2 沿已知方向求F（x）的极小点 270

7.6.3 最速下降法 271

7.6.4 收敛性 272

习题7 274

第八章 矩阵特征值与特征向量 277

8.1 乘幂法与逆幂法 277

8.1.1 乘幂法 277

8.1.2 原点平移加速技术 283

8.1.3 逆幂法 284

8.2 对称矩阵的Householder方法 287

8.2.1 Householder矩阵及其性质 287

8.2.2 实对称矩阵的三对角化 291

8.2.3 对称三对角矩阵特征值的分布 294

8.2.4 求对称三对角矩阵特征值的对分法 297

8.3 QR算法 300

8.3.1 QR算法的基本思想 300

8.3.2 QR方法的收敛性 301

习题8 307

第九章 解非线性方程的数值方法 309

9.1 对分法 309

9.2 简单迭代法 312

9.2.1 迭代法的基本思想 312

9.2.2 简单迭代法的几何解释 313

9.2.3 迭代法的收敛性及误差估计 314

9.2.4 迭代法的收敛速度 317

9.2.5 迭代函数的构造 318

9.3 牛顿迭代法 320

9.3.1 牛顿迭代法的基本思想 320

9.3.2 牛顿迭代法的收敛性 320

9.3.3 简化的牛顿迭代法 324

9.4 弦割法 326

9.4.1 弦割法的基本思想 326

9.4.2 双点弦割法的收敛性 326

9.4.3 单点弦割法 328

习题9 330

第十章 差分法简介 333

10.1 常微分方程边值问题的差分法 333

10.1.1 差分方程的建立 333

10.1.2 差分方程的可解性及误差估计 334

10.1.3 一般二阶方程第三边值问题 337

10.2 椭圆型方程边值问题的差分法 339

10.2.1 差分方程的建立 339

10.2.2 差分解的存在性及误差估计 342

10.3 抛物型方程的差分法 344

10.3.1 差分方程的建立 345

10.3.2 差分格式的稳定性和收敛性 348

10.4 双曲型方程的差分方法 352

10.4.1 差分格式的建立 352

10.4.2 差分格式的稳定性 354

习题10 359

第十一章 有限元方法简介 361

11.1 解偏微分方程的变分法 361

11.1.1 椭圆型方程边值问题的变分原理 361

11.1.2 Ritz方法 365

11.2 有限元方法 367

11.2.1 三角剖分与插值 368

11.2.2 变分问题的离散化 372

11.2.3 强加边界条件处理 377

习题11 380

第十二章 并行算法简介 382

12.1 并行计算机模型 383

12.1.1 SISD计算机模型 385

12.1.2 MISD计算机模型 386

12.1.3 SIMD计算机模型 387

12.1.4 MIMD计算机模型 393

12.2 并行算法的基本概念 395

12.2.1 并行算法的定义、分类和术语 395

12.2.2 并行算法的复杂性 400

12.2.3 并行度 402

12.2.4 加速比与相容性 403

12.2.5 分而治之原则 405

12.3 多项式求值并行计算 407

12.3.1 求和计算的并行二分算法 408

12.3.2 多项式求值的并行二分算法 413

12.3.3 递推问题求终值的并行二分算法 415

12.4 一阶线性递推问题并行计算 417

12.4.1 相关链的二分手续 418

12.4.2 奇偶二分法的算式 419

12.4.3 奇偶二分法的矩阵表示 421

12.5 三角线性方程组并行求解 423

12.5.1 回代算法的并行化 423

12.5.2 二分法的实现 425

12.5.3 二分法的矩阵表示 427