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上册 1

第一章 函数 极限 连续 1

第一节 函数 1

一、变量及其变化区间 1

二、函数概念 2

三、函数的简单性质 6

四、反函数及其图形 9

五、复合函数 10

六、基本初等函数 初等函数 11

七、双曲函数 15

第二节 极限 17

一、极限概念导引 17

二、数列的极限 18

三、函数的极限 24

第三节 无穷小量与无穷大量 29

一、无穷小量 29

二、无穷大量 30

三、无穷小量与无穷大量的关系 31

四、无穷小量运算定理 31

第四节 极限的运算法则 32

第五节 两个重要极限 36

一、夹逼定理（极限存在的准则） 36

二、重要极限lim x→0 sinx/x=1 37

三、重要极限lim x→0(1+1/x)x=e 39

第六节 无穷小的比较 41

一、无穷小的比较 41

二、等价无穷小的性质 43

第七节 函数的连续性与间断点 44

一、函数连续性的概念 44

二、函数的间断点 46

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 48

一、连续函数的四则运算 48

二、复合函数的连续性 48

三、反函数的连续性 48

四、初等函数的连续性 49

第九节 闭区间上连续函数的性质 49

一、最大值定理和最小值定理 49

二、有界性定理 50

三、介值定理（中间值定理） 50

习题一 51

本章学习要点 64

第一单元（函数 极限 连续）检测题 66

第二章 导数与微分 69

第一节 导数概念 69

一、变化率问题举例 69

二、导数的定义 70

三、导数的几何意义 72

四、函数的可导性与连续性的关系 74

第二节 基本初等函数导数公式 导数的四则运算法则 76

一、基本初等函数的导数公式 76

二、导数的四则运算法则 77

第三节 反函数求导法则 复合函数求导法则 80

一、反函数求导法则 80

二、反三角函数的导数 81

三、复合函数求导法则 82

第四节 导数的基本公式和运算法则总结 双曲函数和反双曲函数的导数 85

一、导数的基本公式 85

二、导数的运算法则 86

三、双曲函数的导数 86

四、反双曲函数的导数 87

第五节 高阶导数 87

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数 相关变化率 89

一、隐函数及其导数 89

二、幂指函数 取对数求导法 92

三、由参数方程所确定函数的导数 92

四、极坐标系中曲线的切线与矢径的交角公式 94

五、相关变化率问题 95

第七节 函数的微分法及其应用 96

一、微分的概念 97

二、微分的几何意义 98

三、微分的运算 98

四、微分在近似计算中的应用 100

五、微分在误差估计中的应用 101

习题二 103

本章学习要点 112

第三章 中值定理与导数的应用 115

第一节 中值定理 115

一、罗尔（Rolle）定理 115

二、拉格朗日（Lagrange）定理 117

三、柯西（Cauchy）定理 119

第二节 未定式求极限与洛必达法则 120

一、“0/0”型未定式 120

二、“∞／∞”型未定式 122

三、其他类型未定式极限 123

第三节 函数的单调性与极值的判别法 124

一、函数单调性的判别法 124

二、函数的极值及其求法 125

第四节 函数的最大值、最小值及其应用问题 128

第五节 曲线的凹凸性与拐点 130

一、曲线的凹凸性 130

二、曲线的拐点 132

第六节 函数图形的描绘 133

一、曲线的渐近线 133

二、函数图形描绘举例 134

第七节 平面曲线的曲率 136

一、曲率概念 137

二、弧长的微分 138

三、曲率的计算公式 139

四、曲率圆、曲率半径和曲率中心 141

第八节 方程的近似解 143

一、二分法 143

二、切线法 144

习题三 146

本章学习要点 154

第二单元（一元函数微分学）检测题 156

第四章 不定积分 160

第一节 不定积分的概念与性质 160

一、原函数概念 160

二、不定积分概念 161

三、基本积分表 163

四、不定积分的性质 164

第二节 换元积分法 166

一、第一类换元积分法 166

二、第二类换元积分法 173

第三节 分部积分法 178

第四节 有理函数的积分 182

一、化真分式为简单分式之和 182

二、四种最简分式的积分 185

三、有理函数积分举例 187

第五节 三角函数有理式的积分 188

一、形如∫R(sinx)cosxdx、∫R(cosx)sinxdx和∫R(tanx)sec2xdx的积分 188

二、形如∫R(sin2x,cos2x)dx和∫R(tanx)dx的积分 188

三、形如∫R(sinx,cosx)dx的积分 189

第六节 简单无理式的积分 191

一、形如∫R（x，？）dx的积分 192

二、形如∫R（x，？）dx的积分 192

三、形如∫R（x，？）dx的积分 193

习题四 194

本章学习要点 199

第五章 定积分 201

第一节 定积分的概念 201

一、实例 201

二、定积分的定义 203

三、定积分的存在条件 204

四、定积分的几何意义 205

第二节 定积分的性质 206

第三节 微积分的基本公式 208

一、变速直线运动中路程函数与速度函数的关系 209

二、变上限的定积分及其对上限的导数 209

三、牛顿-莱布尼茨公式 210

第四节 定积分的换元积分法 212

一、第一类换元积分法 212

二、第二类换元积分法 213

第五节 定积分的分部积分法 217

第六节 定积分的近似计算 219

一、矩形法 219

二、梯形法 220

三、抛物线法（辛普森公式） 220

习题五 223

本章学习要点 228

第六章 定积分的应用 广义积分初步 230

第一节 平面图形的面积 231

一、直角坐标系下平面图形的面积 231

二、极坐标系下平面图形的面积 234

第二节 体积 236

一、平行截面面积为已知的立体的体积 236

二、旋转体的体积 237

第三节 平面曲线的弧长 238

一、弧长的概念 238

二、弧长的计算公式 238

第四节 定积分的其他应用 240

一、变力做功问题 240

二、水压力问题 241

三、引力 242

四、物体的转动惯量 243

五、平均值问题 244

第五节 广义积分初步 245

一、无穷区间上的广义积分 245

二、无界函数的广义积分 247

习题六 248

本章学习要点 252

第三单元（一元函数积分学）检测题 254

部分习题答案与提示 258

单元检测题答案与提示 278

高等数学期末参考试题（第一学期） 281

参考文献 285

附录A 积分表 286

附录B 几种常用的曲线 296

附录C 极坐标 299