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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

第二节 空间直角坐标系 向量的坐标 5

一、空间直角坐标系 5

二、空间两点间的距离 6

三、向量的坐标表示 7

四、向量的代数运算 8

五、向量的模、方向角、投影 8

第三节 数量积 向量积 混合积 10

一、向量的数量积 10

二、向量的向量积 12

三、向量的混合积 15

第四节 曲面与曲线的方程 16

一、曲面的方程 16

二、曲线的方程 17

第五节 平面及其方程 18

一、平面的点法式方程 19

二、平面的一般式方程 19

三、两平面的夹角 21

第六节 空间直线及其方程 22

一、空间直线的一般方程 22

二、直线的对称式方程与参数方程 23

三、两直线的夹角 24

四、直线与平面的夹角 24

第七节 几种常见的曲面 26

一、旋转曲面 26

二、柱面 27

三、投影柱面 28

四、二次曲面 29

习题七 33

第八章 多元函数微分学及其应用 37

第一节 多元函数的基本概念 37

一、平面点集 37

二、n维空间 39

三、多元函数的定义 40

四、多元复合函数及隐函数 42

五、多元初等函数 42

第二节 多元函数的极限与连续性 42

一、多元函数的极限 42

二、多元函数的连续性 45

第三节 偏导数 48

一、偏导数的定义及其计算法 48

二、高阶偏导数 52

第四节 全微分及其应用 54

一、全微分的概念 54

二、全微分在近似计算中的应用 59

第五节 多元复合函数的求导法则 60

一、链式法则 60

二、全微分形式的不变性 66

第六节 隐函数的求导公式 67

一、一个方程的情形 67

二、方程组的情形 71

第七节 方向导数与梯度 75

一、方向导数 75

二、梯度 78

第八节 多元函数微分学在几何中的应用 81

一、空间曲线的切线与法平面 81

二、空间曲面的切平面与法线 85

第九节 多元函数的极值 89

一、多元函数的极值 89

二、多元函数的最大值与最小值 93

三、条件极值 95

第十节 二元函数的泰勒公式 100

一、二元函数的泰勒公式 100

二、极值充分条件的证明 104

习题八 106

第九章 重积分 114

第一节 二重积分的概念与性质 114

一、引例 114

二、二重积分的定义 116

三、二重积分的性质 117

第二节 二重积分的计算 120

一、利用直角坐标计算二重积分 120

二、利用极坐标计算二重积分 128

三、二重积分的一般变量替换 133

第三节 三重积分 136

一、三重积分的概念 136

二、三重积分的计算 138

第四节 重积分的应用 148

一、曲面的面积 148

二、重心 150

三、转动惯量 153

四、引力 154

第五节 含参变量的积分 155

习题九 160

第十章 曲线积分与曲面积分 168

第一节 对弧长的曲线积分 168

一、引例 168

二、对弧长的曲线积分的定义与性质 169

三、对弧长的曲线积分的计算 170

第二节 对坐标的曲线积分 174

一、引例 174

二、对坐标的曲线积分的定义与性质 175

三、对坐标的曲线积分的计算 177

四、两类曲线积分之间的关系 181

第三节 格林公式及其应用 183

一、格林公式 183

二、平面曲线积分与路径无关的条件 187

第四节 对面积的曲面积分 191

一、引例 192

二、对面积的曲面积分的定义与性质 192

三、对面积的曲面积分的计算 193

第五节 对坐标的曲面积分 196

一、有向曲面 196

二、对坐标的曲面积分的定义与性质 198

三、对坐标的曲面积分的计算 200

四、两类曲面积分之间的关系 203

第六节 高斯公式 通量与散度 205

一、高斯公式 205

二、物理意义——通量与散量 210

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 211

一、斯托克斯公式 211

二、物理意义——环流量与旋度 215

三、向量微分算子 217

习题十 218

第十一章 无穷级数 223

第一节 常数项级数的概念和性质 223

一、常数项级数的概念 223

二、收敛级数的基本性质 225

三、柯西审敛原理 228

第二节 正项级数的审敛法 228

第三节 一般常数项级数的审敛法 236

一、交错级数收敛性判别法 236

二、绝对收敛与条件收敛 237

三、绝对收敛级数的性质 239

第四节 幂级数 242

一、函数项级数的概念 242

二、幂级数及其收敛性 243

三、幂级数的运算 248

第五节 函数展开成幂级数 251

第六节 幂级数的应用 257

一、近似计算 257

二、欧拉公式 260

第七节 函数项级数的一致收敛性 261

一、函数项级数的一致收敛性 261

二、一致收敛级数的基本性质 264

三、幂级数的一致收敛性 266

第八节 傅里叶级数 267

一、三角级数 三角函数系的正交性 267

二、周期函数展开成傅里叶级数 270

三、非周期函数展开成傅里叶级数 280

四、傅里叶级数的复数形式 285

习题十一 287

附录 二阶和三阶行列式简介 294

习题参考答案 298