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第九章 无穷级数 1

9．1 数值级数的基本问题 2

一、基本概念 2

二、级数的收敛条件 5

三、基本性质 8

习题一 10

9．2 正项级数 13

一、基本定理 13

二、正项级数的比较判别法 13

三、Cauchy积分判别法 20

四、Cauchy根值判别法 21

五、达朗贝尔（D'Alembert）比值判别法 23

六、拉贝（Raabe）判别法 27

七、高斯（Gauss）判别法 29

习题二 32

9．3 任意项级数 37

一、交错级数的收敛性 38

二、绝对收敛与条件收敛 41

三、任意项级数的收敛判别法 43

四、绝对收敛级数的性质 49

习题三 55

9．4 函数项级数 59

一、函数项级数的基本概念 59

二、一致收敛性 62

三、一致收敛性判别法 66

四、一致收敛级数的分析性质 73

习题四 77

9．5 幂级数 79

一、幂级数的收敛半径 80

二、幂级数的和函数的分析性质 84

三、函数的幂级数展开 88

四、幂级数的某些应用 98

习题五 102

9．6 富里哀（Fourier）级数 106

一、三角函数系的正交性 107

二、Euler-Fourier公式 108

三、Fourier级数 110

四、收敛定理 111

五、将周期函数展为富里哀级数 118

六、正弦（余弦）级数与函数的奇偶延拓 121

七、周期变换 126

八、富里哀级数的复数形式 131

九、最佳均方逼近 134

习题六 138

第十章 常微分方程 143

10．1 微分方程的基本概念 143

习题一 149

10．2 一阶微分方程 151

一、可分离变量的方程 151

二、齐次方程 157

三、一阶线性微分方程 160

四、Clairaut方程、奇解 168

习题二 173

10．3 特殊类型的二阶微分方程 179

一、y″=f（x,y′）型的微分方程 179

二、y″=f（y,y′）型的微分方程 182

习题三 185

10．4 二阶线性微分方程解的结构 186

习题四 190

10．5 二阶线性常系数微分方程 191

一、二阶线性常系数齐次方程的解法 196

二、二阶线性常系数非齐次方程的解法 205

三、二阶线性常系数非齐次方程的常数变易法 216

四、欧拉（Euler）方程 219

习题五 222

10．6 微分方程的幂级数解法 227

习题六 230

10．7 常系数线性齐次微分方程组 230

习题七 237

第十一章 空间解析几何 239

11．1 空间直角坐标系 239

一、空间中点的直角坐标 239

二、坐标轴的平移 241

三、两点间的距离 242

习题一 243

11．2 向量代数 244

一、向量的概念 244

二、向量的加减法、数与向量的乘积 245

三、向量的坐标表示 248

四、向量的数量积 254

五、向量的向量积 258

六、向量的混合积 264

习题二 266

11．3 平面和直线 270

一、平面 270

二、直线 277

三、交于一直线的平面束 286

习题三 288

11．4 空间曲面与空间曲线 291

一、球面与柱面 291

二、空间曲线 294

三、锥面 298

四、旋转曲面 300

五、几个常见的二次曲面 302

六、曲面的参数方程 305

习题四 306

第十二章 多元函数微分学 309

12．1 多元函数的概念 309

一、邻域、点列的极限 309

二、开集、闭集、区域 311

三、平面点集的几个基本定理 313

四、多元函数的概念 315

五、二元函数的几何意义 317

习题一 318

12．2 多元函数的极限与连续 320

一、二元函数的极限 320

二、二重极限与累次极限 325

三、二元函数的连续性 327

四、有界闭区域上连续函数的性质 329

习题二 331

12．3 偏导数与全微分 333

一、偏导数 333

二、全微分 337

习题三 346

12．4 方向导数与梯度 349

一、方向导数 349

二、梯度 352

习题四 354

12．5 复合函数微分法 354

一、全导数 354

二、复合函数微分法 356

三、一阶全微分形式的不变性 361

习题五 363

12．6 隐函数微分法 365

一、隐函数存在定理 366

二、雅可比（Jacobi）行列式 369

三、隐函数微分法 371

习题六 375

12．7 微分法的几何应用 377

一、空间曲线的切线与法平面 377

二、曲面的切平面与法线 379

习题七 381

12．8 高阶偏导数与高阶全微分 383

一、高阶偏导数 383

二、高阶全微分 389

习题八 391

12．9 二元函数的泰勒公式 393

习题九 397

12．10 极值与条件极值 397

一、极值 397

二、最小二乘法 406

三、条件极值——拉格朗日乘数法 411

习题十 418

第十三章 含参变量积分 421

13．1 含参变量的常义积分 421

习题一 429

13．2 含参变量的广义积分 432

一、含参变量广义积分的一致收敛性 432

二、含参变量广义积分的性质 435

习题二 442

13．3 Beta函数与Gamma函数 444

一、Gamma函数Γ（S） 445

二、Beta函数B（p,q） 446

三、Beta函数B（p,q）与Gamma函数Γ（S）的关系 449

四、余元公式 449

五、Euler积分应用举例 451

习题三 454

第十四章 重积分 456

14．1 二重积分的概念和性质 456

一、两个典型问题 456

二、二重积分的概念 459

三、二重积分的性质 461

习题一 464

14．2 二重积分的计算 465

一、直角坐标系中二重积分的计算 465

二、用极坐标计算二重积分 476

三、二重积分的一般变量替换 481

习题二 488

14．3 三重积分的概念与计算 493

一、三重积分的概念 493

二、直角坐标系中三重积分的计算 495

习题三 500

14．4 三重积分的变量替换 501

一、一般换元公式 501

二、柱面坐标变换 502

三、球面坐标变换 504

习题四 508

14．5 重积分的应用 511

一、曲面的面积 511

二、重积分在物理中的应用举例 514

习题五 520

14．6 广义重积分 522

习题六 526

第十五章 曲线积分、曲面积分和场论初步 528

15．1 对弧长的曲线积分 528

一、对弧长的曲线积分的概念 528

二、对弧长的曲线积分的计算 530

习题一 534

15．2 对坐标的曲线积分 536

一、对坐标的曲线积分的概念 536

二、对坐标的曲线积分的计算 540

三、两类曲线积分的关系 545

习题二 546

15．3 格林公式 547

习题三 555

15．4 平面曲线积分与路径无关的条件 557

习题四 564

15．5 对面积的曲面积分 567

一、对面积的曲面积分的概念 567

二、对面积的曲面积分的计算 568

习题五 572

15．6 对坐标的曲面积分 574

一、曲面侧的概念 574

二、对坐标的曲面积分的概念 575

三、对坐标的曲面积分的计算 579

四、两类曲面积分的关系 585

习题六 585

15．7 奥高公式 587

习题七 594

15．8 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件 596

一、斯托克斯公式 596

二、空间曲线积分与路径无关的条件 602

习题八 604

15．9 场论初步 605

一、场的概念 605

二、数量场的等值面与梯度 606

三、向量场的通量与散度 609

四、向量场的环量与旋度 613

五、管量场与势量场 616

六、算子〓 619

习题九 620

参考数目 623

习题答案 624