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第一章 数学结论的探求与讨论 1

第一节 迭代与递归 1

一、几个例子 1

二、试算—归纳—猜想—论证 6

三、求通项的技巧 13

四、求级数的和 22

五、从一道习题的分析谈起 34

六、母函数 41

七、用特征方程求解递归方程 50

练习1·1 57

第二节 推广与退缩 60

一、引伸—推广—改造—退缩 61

二、图形上的推广 69

三、退缩便于寻找解题方法 83

四、推广可寻找一般规律 93

五、用推广来构造题目 105

练习1·2 115

第三节 广泛与局限 120

一、实系数一元二次方程解的判别式 120

二、拟柱体体积公式 129

三、线性方程组讨论 141

四、旋转体体积与表面积 148

五、曲线系方程 155

六、中点与重心 160

练习1·3 167

第四节 直路与弯路 173

一、参数的引入 174

二、从比较中探求合理性 181

三、凸函数与不等式证明 196

四、巧用三倍角公式 205

五、射影定理 211

六、幻方（数字幻方） 221

练习1·4 228

第五节 全局与局部 231

一、爬坡式程序 232

二、拼接 241

三、极值（等周等积定理） 247

四、函数y＝Ax+？的图象 259

五、对称 267

练习1·5 273

第六节 严谨与直观 277

一、函数图象 277

二、单位圆模型 286

三、几何解释 298

四、图的表示与解题 308

五、级数求和的模型 314

六、数与形的结合 324

练习1·6 330

第二章 数学结论的逻辑结构 335

第一节 分析与综合 335

一、由因导果 335

二、执果索因 338

三、因果交叉分析法 345

四、条件、结论的变更 353

五、RMI分析模型 364

练习2·1 371

第二节 直接证法与间接证法 374

一、数学证明 374

二、反例 378

三、反证法 386

四、同一法 395

练习2·2 398

第三节 演绎和归纳 403

一、由一般到特殊的推理 404

二、由特殊到一般的推理 409

三、数学归纳法 416

四、归纳、演绎、发现、应用 426

练习2·3 437

第四节 类比推理的似真性 440

一、命题对偶构造法 440

二、截积定理 447

三、空间余弦定理 452

四、Euler四面体 461

五、数与式的整除性 468

六、椭圆与双曲线的直径和切线 473

练习2·4 480

第五节 似真推理与数学证明 483

一、空间的分割 484

二、求自然数的约数和 489

三、有限集合元素的个数 494

四、均值定理 501

五、几何作图 513

六、二项式定理 521

练习2·5 532

第三章 数学解题方法研究 535

第一节 变更与转化 535

一、转化变量 535

二、等价的转化 543

三、几何问题解析化 548

四、代数、三角的几何化 557

五、方法上的转化 564

六、不等价的转化与变更 571

练习3·1 578

第二节 两个重要原理 579

一、n+1个元素分成n个集合 580

二、m个元素分成n个集合 583

三、一种间接考虑的方法 587

四、容斥原理在组合计数中的应用 591

练习3·2 596

第三节 参数法 598

一、条件连等式 598

二、条件不等式 601

三、参数讨论 604

四、参数的选择 610

五、参数的几何意义的应用 622

六、参数法求轨迹 629

七、参数方程与普通方程的等价性 637

练习3·3 642

第四节 待定系数法 645

一、因式分解 645

二、多项式的整除 649

三、部分分式 651

四、根式开方 655

五、求解析式 659

六、级数求和 662

练习3·4 665

第五节 射影法与向量法 667

一、射影定理 667

二、封闭折线射影 669

三、图形的射影 674

四、平面向量与复数 678

五、向量几何 684

六、向量法在空间图形中的应用 688

七、用交点投影法作截面图 693

练习3·5 695

第六节 一题多解与多题一解 698

一、加强各种知识间的联系 699

二、加强方法上的沟通 708

三、加强解法比较 721

四、多题一解归类 737

五、多题一解的构造与变更 742

练习3·6 748

第四章 现代数学从方法上进行渗透 752

第一节 集合与映射 752

一、集合的基数法 752

二、补集的应用 754

三、计数问题与映射 756

四、图形变换与映射 759

五、逆映射与解方程 761

六、方程解的个数与映射 763

第二节 向量 767

一、不等式的证明 767

二、轨迹与区域 770

三、平面图形 775

四、空间图形 778

五、三角函数式 783

六、运动与图形 785

第三节 初等几何变换 791

一、平移变换 791

二、反射变换 795

三、旋转变换 798

四、相似变换与位似变换 801

五、反演变换 804

第四节 矩阵 809

一、解方程组与矩阵的行变换 809

二、逆矩阵与解方程组 811

三、方程组解集的讨论与矩阵秩 814

四、矩阵与变换 820

五、关系与矩阵 832

第五节 进制数 837

一、二进制数的表示 838

二、二进制与三进制数对应 840

三、P进制数的应用 844

四、猜数卡的编制 849

五、火柴游戏问题 851

六、杂例分析 853

第六节 图论的简单应用 858

一、树图 858

二、平面图 862

三、有向图 865

四、图的应用 868

五、卡诺图与逻辑 871

六、完全偶图 874