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第五章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 空间直角坐标系 1

1.1 空间点的直角坐标 1

1.2 空间两点间的距离 2

习题5.1 3

第二节 向量的线性运算 3

2.1 向量的概念 3

2.2 向量的加法与数乘 4

2.2.1 向量的加法 4

2.2.2 向量的减法 4

2.2.3 向量的数乘 5

2.3 向量的分解与坐标 6

2.3.1 向量的分解与坐标 6

2.3.2 向量加法、减法和数乘的坐标表示 7

2.3.3 向量的模和方向余弦的坐标表示 8

2.3.4 向量在轴上的投影 10

习题5.2 10

第三节 向量的数量积 向量积 混合积 二重向量积 11

3.1 向量的数量积 11

3.1.1 数量积的定义 11

3.1.2 数量积的性质和运算规律 11

3.1.3 数量积的坐标表示 12

3.2 向量的向量积 14

3.2.1 向量积的定义 14

3.2.2 向量积的性质和运算规律 15

3.2.3 向量积的坐标表示 15

3.3 向量的混合积 16

3.4 二重向量积 18

习题5.3 19

第四节 平面与直线 20

4.1 平面及其方程 20

4.1.1 平面的点法式方程 20

4.1.2 平面的一般方程 21

4.2 两平面的关系 22

4.3 点到平面的距离 23

4.4 直线及其方程 23

4.4.1 空间直线的一般方程 23

4.4.2 空间直线的对称式方程与参数方程 24

4.5 两直线的关系 25

4.6 点到直线的距离 26

4.7 直线与平面的关系 27

4.8 平面束方程 29

习题5.4 30

第五节 常见曲面 31

5.1 曲面方程的概念 31

5.2 柱面 31

5.3 旋转曲面 32

5.4 椭球面 33

5.5 单叶双曲面 33

5.6 双叶双曲面 34

5.7 二次锥面 34

5.8 椭圆抛物面 34

5.9 双曲抛物面 35

习题5.5 35

第六节 空间曲线及其方程 35

6.1 空间曲线的一般方程 35

6.2 空间曲线的参数方程 36

6.3 空间曲线在坐标面上的投影 37

习题5.6 38

复习题五 38

第六章 多元函数微分学 41

第一节 多元函数的概念 41

1.1 映射与多元函数 41

1.2 平面点集的一些概念 42

1.2.1 平面点集 42

1.2.2 邻域 内点 边界点 43

1.2.3 区域 闭区域 44

1.3 平面点列的极限与二元函数的极限 44

1.3.1 平面点列的极限 44

1.3.2 二元函数的极限 45

1.4 二元函数的连续性 46

1.5 闭区域上连续函数的性质 47

习题6.1 48

第二节 多元函数的偏导数和全微分 49

2.1 偏导数 49

2.1.1 偏导数定义 49

2.1.2 偏导数的几何意义 51

2.2 方向导数 51

2.3 全微分 53

2.3.1 全微分的概念 53

2.3.2 全微分与偏导函数的关系 53

2.4 函数值的近似计算 56

2.5 误差估计 57

2.6 梯度及其意义 58

2.6.1 梯度的概念 58

2.6.2 梯度的性质 59

2.7 高阶偏导数 60

2.8 高阶微分 61

2.9 向量值函数 62

2.9.1 向量值函数的定义 62

2.9.2 向量值函数的极限、连续 62

2.9.3 向量值函数的可微性 62

习题6.2 63

第三节 复合函数的求导法则 65

3.1 链式法则 65

3.1.1 中间变量是一元函数的情形 65

3.1.2 中间变量及自变量均为多元函数的情形 67

3.2 一阶全微分形式不变性 微分的运算 68

3.2.1 一阶全微分形式不变性 68

3.2.2 微分的运算 68

3.3 复合函数的全微分 69

3.4 复合函数的高阶偏导数 70

习题6.3 71

第四节 隐函数的求导法 72

4.1 多元方程所确定的隐函数及偏导数 72

4.1.1 一元隐函数微分法 72

4.1.2 二元函数的微分法 73

4.2 由方程组所确定的隐函数的求导法 74

习题6.4 77

第五节 偏导数在几何中的应用 78

5.1 空间曲线的切线与法平面 78

5.2 空间曲面的切平面与法线 80

习题6.5 82

第六节 二元函数的泰勒公式 82

6.1 泰勒公式 82

6.2 马克劳林公式 84

习题6.6 85

第七节 多元函数的极值 85

7.1 无条件极值 85

7.2 最值 87

7.3 最小二乘法 89

7.4 条件极值 91

习题6.7 93

复习题六 94

第七章 重积分 96

第一节 二重积分的概念与性质 96

1.1 二重积分的概念 96

1.1.1 二重积分的引入 96

1.1.2 二重积分的定义与可积函数类 97

1.2 二重积分的性质 98

习题7.1 99

第二节 二重积分的计算法 100

2.1 利用直角坐标计算二重积分 100

2.2 利用极坐标计算二重积分 105

2.3 广义二重积分 110

2.3.1 无界区域上的广义二重积分 110

2.3.2 无界函数的广义二重积分 110

习题7.2 111

第三节 三重积分 113

3.1 三重积分的概念 114

3.2 直角坐标系下三重积分的计算 115

3.3 柱面坐标系下三重积分的计算 118

3.4 球坐标系下三重积分的计算 120

3.5 重积分的变量替换 122

习题7.3 126

第四节 重积分的应用 128

4.1 几何应用 128

4.2 物理应用 130

4.2.1 质心 130

4.2.2 转动惯量 131

4.2.3 引力 132

习题7.4 133

复习题七 134

第八章 曲线积分与曲面积分 136

第一节 第一类曲线积分 136

1.1 第一类曲线积分的概念 136

1.1.1 第一类曲线积分的定义 136

1.1.2 第一类曲线积分的性质 137

1.2 第一类曲线积分的计算 138

习题8.1 140

第二节 第二类曲线积分 141

2.1 第二类曲线积分的定义 141

2.2 第二类曲线积分的计算 143

习题8.2 146

第三节 格林公式曲线积分与路线的无关性 147

3.1 格林公式 147

3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 151

习题8.3 153

第四节 第一类曲面积分 154

4.1 曲面的面积 154

4.2 第一类曲面积分的定义 157

4.3 第一类曲面积分的计算 158

习题8.4 160

第五节 第二类曲面积分 160

5.1 曲面的侧与有向曲面 160

5.2 第二类曲面积分的定义 161

5.3 两类曲面积分之间的联系 162

5.4 第二类曲面积分的计算 163

习题8.5 166

第六节 高斯公式与斯托克斯公式 167

6.1 高斯公式 167

6.2 斯托克斯公式公式 170

习题8.6 174

第七节 场论初步 175

7.1 场的概念 175

7.2 梯度场 176

7.3 散度场 177

7.4 旋度场 179

习题8.7 180

复习题八 180

第九章 无穷级数 183

第一节 数项级数 183

1.1 无穷级数的基本概念 183

1.2 正项级数 187

1.3 交错级数 193

1.4 级数收敛的一般判别法 193

1.5 绝对收敛与条件收敛 195

习题9.1 196

第二节 函数项级数 197

2.1 函数项级数的基本概念 197

2.2 函数项级数一致收敛的定义及判别法 199

2.3 一致收敛的函数项级数的性质 204

习题9.2 209

第三节 幂级数与泰勒展开式 209

3.1 幂级数的收敛半径和收敛区域 210

3.2 幂级数的运算和性质 213

3.3 函数的泰勒展开式 215

3.4 初等函数的幂级数展开式 218

3.5 幂级数应用于近似计算 220

3.6 司特林公式 222

3.7 连续函数的多项式逼近 222

习题9.3 222

第四节 傅里叶级数 223

4.1 三角函数系的正交性 223

4.2 函数展开成傅里叶级数 224

4.3 正弦级数和余弦级数 228

4.4 以2l为周期的函数的傅里叶级数 230

4.5 复数形式的傅里叶级数 232

4.6 傅里叶级数的收敛性 234

习题9.4 238

复习题九 239

习题答案与提示 242