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绪论 1

1 插值法 11

1.1 插值问题 11

1.1.1 基本概念 11

1.1.2 插值多项式的存在唯一性 11

1.2 拉格朗日(Lagrange)插值 12

1.2.1 Lagrange 插值多项式 12

1.2.2 插值余项表达式 14

1.3 差商与牛顿(Newton)插值 16

1.3.1 差商的定义和性质 17

1.3.2 Newton 插值公式 18

1.4 差分与等距节点插值 20

1.4.1 差分及其性质 21

1.4.2 等距节点插值公式 22

1.5 埃尔米特(Hermite)插值 24

1.6 三次样条插值 27

1.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值 27

1.6.2 三次样条插值函数 28

1.6.3 三次样条插值函数的构造方法 29

1.6.4 两点说明 35

习题1 36

2 曲线拟合与平方逼近 39

2.1 观测数据的最小二乘拟合 39

2.1.1 最小二乘问题 39

2.1.2 正规方程组 40

2.2 正交多项式 43

2.2.1 切比雪夫(Chebyshev)多项式 43

2.2.2 一般正交多项式 48

2.3 最佳平方逼近 49

2.3.1 预备知识 49

2.3.2 最佳平方逼近 51

习题2 54

3 数值积分与数值微分 56

3.1 数值积分的基本思想与代数精确度 56

3.1.1 基本思想 56

3.1.2 插值型求积公式 57

3.1.3 代数精确度 58

3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 58

3.2.1 公式导出 58

3.2.2 几种低阶求积公式的余项 61

3.2.3 复化求积法 62

3.3 龙贝格(Romberg)算法 64

3.3.1 梯形公式的递推关系 64

3.3.2 Romberg 算法 66

3.4 高斯(Gauss)公式 69

3.4.1 基本概念 69

3.4.2 Gauss 点 70

3.4.3 高斯-勒让德(Gauss-Legendre)公式 71

3.4.4 稳定性和收敛性 73

3.4.5 带权 Gauss 公式 74

3.5 数值微分 75

3.5.1 插值型求导公式 75

3.5.2 三次样条插值求导 79

习题3 79

4 常微分方程数值解法 82

4.1 数值解法的基本思想和途径 82

4.1.1 初值问题 82

4.1.2 离散化方法 82

4.1.3 几个基本概念 84

4.2 龙格-库塔(Runge-Kutta)法 86

4.2.1 Runge-Kutta 法的基本思想 86

4.2.2 四阶 Runge-Kutta 法 88

4.2.3 步长的选取 89

4.3 单步法的收敛性和稳定性 90

4.3.1 单步法的收敛性 90

4.3.2 单步法的稳定性 92

4.4 线性多步法 93

4.4.1 阿当姆斯(Adams)显式公式 93

4.4.2 Adams 隐式公式 95

4.4.3 Adams 预报-校正公式 96

4.5 一阶方程组与高阶方程的数值解法 97

4.5.1 一阶方程组 97

4.5.2 化高阶方程为一阶方程组 98

4.6 边值问题的差分解法 98

习题4 100

5 非线性方程求根 102

5.1 迭代法 102

5.1.1 简单迭代法 102

5.1.2 收敛问题 103

5.1.3 迭代过程的收敛速度及加速 107

5.2 牛顿(Newton)迭代法 110

5.2.1 Newton 迭代法 110

5.2.2 局部收敛性 110

5.2.3 Newton 下山法 112

5.2.4 解非线性方程组的 Newton 迭代法 112

5.3 弦截法 113

5.3.1 单点弦截法 113

5.3.2 双点弦截法 114

5.4 代数方程求根 115

5.4.1 秦九韶算法 115

5.4.2 代数方程的 Newton 法 116

5.4.3 劈因子法 117

习题5 119

6 线性方程组的直接解法 121

6.1 引言 121

6.2 高斯(Gauss)消去法 121

6.2.1 系数矩阵为三角形的方程组 122

6.2.2 Gauss 消去法 122

6.2.3 列主元消去法 126

6.2.4 全主元消去法 127

6.3 高斯-约当(Gauss-Jordan)消去法与矩阵求逆 128

6.3.1 Gauss-Jordan 消去法 128

6.3.2 用 Gauss-Jordan 方法求逆矩阵 131

6.4 解三对角方程组的追赶法 133

6.5 矩阵的三角分解及 Gauss 消去法的变形 135

6.5.1 矩阵的 LU 分解 136

6.5.2 方程组的求解 137

6.5.3 平方根法 138

6.5.4 改进的平方根法 138

6.6 向量范数和矩阵范数 139

6.6.1 向量的范数 140

6.6.2 矩阵的范数 141

6.7 误差分析 143

6.7.1 方程组的性态和条件数 143

6.7.2 精度分析 145

习题6 146

7 解线性方程组的迭代法 149

7.1 雅可比(Jacobi)迭代法与赛德尔(Seidel)迭代法 149

7.1.1 Jacobi 迭代法 149

7.1.2 Seidel 迭代法 150

7.1.3 迭代公式的矩阵表示 152

7.2 迭代法的收敛性 153

7.2.1 迭代法收敛的充要条件 153

7.2.2 迭代法收敛的充分条件 156

7.2.3 系数矩阵是对角占优情形 157

7.3 迭代法的误差估计 159

7.4 超松驰迭代(SOR)法 160

习题7 162

8 矩阵的特征值与特征向量计算 164

8.1 幂法与反幂法 164

8.1.1 幂法 164

8.1.2 幂法的加速 169

8.1.3 反幂法 170

8.2 雅可比(Jacobi)方法 172

8.2.1 预备知识 172

8.2.2 Jacobi 方法 173

8.2.3 Jacobi 过关法 177

8.3 QR 算法 177

8.3.1 QR 分解 177

8.3.2 QR 算法 180

习题8 181

9 上机实习课题 183

9.1 插值问题数值试验题 183

9.2 曲线拟合问题的数值试验题 183

9.3 数值积分的数值试验题 184

9.4 常微分方程初值(边值)问题的数值试验题 185

9.5 方程求根的数值试验题 186

9.6 线性方程组求解的数值试验题 187

9.7 矩阵特征值计算的数值试验题 187

9.8 矩阵条件数的估计 188

参考文献 190