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第十一章 数项级数 1

11·1级数的收敛性及其性质 1

一、级数的收敛性概念 1

二、级数收敛的条件 6

三、收敛级数的基本性质 9

习题11·1 12

11·2正项级数 13

一、正项级数收敛的充要条件 14

二、比较判别法 16

三、达朗贝尔判别法与柯西判别法 20

习题11·2 25

11·3一般项级数 26

一、交错级数 26

二、绝对收敛级数 29

三、条件收敛级数的判别法 31

四、绝对收敛级数的可交换性 35

习题11·3 38

复习题十一 40

第十二章 广义积分 42

12·1无穷积分 42

一、无穷积分概念及其性质 42

二、无穷积分与数项级数的关系 49

三、非负函数无穷积分收敛判别法 50

四、变号函数无穷积分收敛判别法 55

习题12·1 59

12·2瑕积分 61

一、瑕积分概念 61

二、两种广义积分的联系 64

三、瑕积分收敛判别法 66

习题12·2 71

复习题十二 72

第十三章 函数列与函数项级数 74

13·1函数列与函数项级数的一致收敛性 74

一、函数列及其一致收敛性 74

二、函数项级数及其一致收敛性 81

习题13·1 88

13·2函数项级数一致收敛的判别法 89

习题13·2 94

13·3一致收敛函数列与函数项级数的性质 95

一、一致收敛函数列的性质 95

二、一致收敛函数项级数的性质 100

习题13·3 104

复习题十三 105

第十四章 幂级数 108

14·1幂级数的收敛域 108

一、幂级数概念 108

二、幂级数的收敛半径与收敛区间 108

三、收敛半径的计算 111

习题14·1 114

14·2幂级数的性质与运算 114

一、幂级数的一致收敛性 114

二、幂级数和函 116

数的性质 116

三、幂级数的四则运算 119

习题14·2 120

14·3函数的幂级数展开 121

一、泰勒级数 121

二、函数展开为泰勒级数的条件 122

三、初等函数的幂级数展开 124

习题14·3 131

14·4幂级数在近似计算中的应用 132

习题14·4 140

复习题十四 140

第十五章 傅里叶级数 142

15·1傅里叶级数概念 142

一、三角级数 142

二、三角函数系的正交性 143

三、傅里叶级数 144

四、偶函数与奇函数的傅里叶级数 148

习题15·1 149

15·2傅里叶级数的收敛定理 150

一、贝塞耳不等式 150

二、黎曼引理 152

三、傅里叶级数的部分和公式 154

四、收敛定理 156

习题15·2 159

15·3函数的傅里叶级数展开 159

一、函数在〔-π，π〕上的展开 159

二、函数在区间〔0，π〕上的展开 163

三、函数在区间〔-l，l〕上的展开 165

习题15·3 167

复习题十五 168

第十六章 多元函数及其极限与连续 171

16·1多元函数概念 171

一、平面点集 171

二、二元函数概念 177

三、n维空间与n元函数 179

习题16·1 181

16·2二元函数的极限 182

一、二元函数的极限 183

二、累次极限 185

习题16·2 188

16·3二元函数的连续性 190

一、二元函数的连续性概念 190

二、二元连续函数的局部性质及初等函数的连续性 192

三、有界闭区域上连续函数的性质 194

习题16·3 196

复习题十六 196

第十七章 多元函数微分学 198

17·1偏导数与全微分 198

一、偏导数 198

二、全微分 203

习题17·1 210

17·2复合函数的微分法 212

一、复合函数的偏导数 212

二、复合函数的全 216

微分 216

习题17·2 218

17·3方向导数与梯度 219

一、方向导数 220

二、梯度 223

习题17·3 225

17·4高阶偏导数与高阶全微分 225

一、高阶偏导数 225

二、高阶全微分 232

习题17·4 234

17·5泰勒公式与极值问题 236

一、中值公式 236

二、泰勒公式 238

三、极值问题 240

习题17·5 251

复习题十七 252

第十八章 隐函数定理及其应用 255

18·1隐函数 255

一、隐函数概念 255

二、隐函数定理 256

三、隐函数求导举例 260

习题18·1 262

18·2隐函数组 263

一、隐函数组概念 263

二、隐函数组定理 264

三、反函数组与坐标变换 271

四、函数行列式的性质 273

习题18·2 275

18·3几何应用 277

一、平面曲线的切线与法线 277

二、空间曲线的切线与法平面 278

三、曲面的切平面和法线 282

习题18·3 286

18·4条件极值 287

一、条件极值概念 287

二、条件极值的必要条件 288

习题18·4 295

复习题十八 296

第十九章 含参变量的积分 299

19·1含参变量的定积分 299

一、积分限不含参变量的积分 299

二、积分限含参变量的积分 305

习题19·1 309

19·2含参变量的广义积分 310

一、含参变量广义积分一致收敛概念 310

二、一致收敛的判别法 314

三、含参变量无穷积分的性质 316

习题19·2 323

19·3欧拉积分一Γ函数与B函数 325

一、Γ函数及其性质 325

二、B函数及其性质 326

三、Γ函数与B函数的关系 328

四、B函数与Γ函数计算积分 330

习题19·3 331

复习题十九 332

第二十章 重积分 335

20·1二重积分 335

一、二重积分概念 335

二、二重积分的性质 339

三、化二重积分为累次积分 341

四、二重积分的换元法 352

习题20·1 362

20·2三重积分 366

一、三重积分概念 366

二、化三重积分为累次积分 368

三、三重积分的换元法 371

习题20·2 379

20·3重积分的应用 381

一、曲面的面积 381

二、物体的重心 384

三、转动惯量 387

习题20·3 390

复习题二十 391

第二十一章 曲线积分和曲面积分 394

21·1第一型曲线积分与第一型曲面积分 394

一、第一型曲线积分的概念及其性质 394

二、第一型曲线积分的计算 397

三、第一型曲面积分概念 401

四、第一型曲面积分的计算 403

习题21·1 405

21·2第二型曲线积分 407

一、第二型曲线积分概念 407

二、第二型曲线积分的计算 411

三、两类曲线积分的联系 414

四、格林公式 416

五、曲线积分与路线的无关性 423

习题21·2 429

21·3第二型曲面积分 430

一、曲面的侧 430

二、第二型曲面积分概念及其性质 432

三、第二型曲面积分的计算 436

四、两类曲面积分的联系 439

五、奥高公式 440

六、斯托克斯公式 444

习题21·3 449

复习题二十一 451