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目 录 1

第一篇 二阶线性常微分方程的级数解及正交多项式 1

第一章二阶线性常微分方程的级数解 1

§1.1 1 二阶线性常微分方程的奇点 1

§1.1.2 方程常点邻域内的解 2

§1.1.3 方程正则奇点部域内的正则解 6

§1.1.4方程非正则奇点邻域内的正则解 12

§1.1.5 方程的常规解和次常规解 13

§1.2.1 斯特姆—刘维型方程的本征值问题 17

第二章常微分方程的本征值问题 17

§1.2.2斯特姆—刘维型本征值问题的性质 21

第三章球函数 27

§1.3.1勒让德多项式 27

§1.3.2勒让德多项式的微分和积分表达式 31

§1.3.3勒让德多项式的母函数及递推公式 32

§1.3.4广义傅里叶级数—按勒让德多项式展开 35

§1.3.5连带勒让德函数 38

§1.3.6 广义傅里叶级数—按连带勒让德函数展开 42

§1.3.7一般球函数 44

§1.4.1 贝塞尔方程的解 48

第四章柱函数 48

§1.4.2贝塞尔函数及其性质 51

§1.4.3按贝塞尔函数展开 58

§1.4.4第三类贝塞尔函数和球贝塞尔函数 62

§1.4.5 虚变量（或变形）贝塞尔函数和贝塞尔函数的渐近公式 65

第五章正交多项式 74

§1.5.1 厄密多项式 74

§1.5.2拉盖尔多项式 80

§1.5.3 契比雪夫多项式 85

第二篇数学物理方程 96

第六章方程的建立和定解问题 98

§2.6.1 数学物理方程的导出 99

§2.6.2定解条件 111

§2.6.3定解问题的适定性概念 120

第七章分离变量法 124

§2.7.1 求解—维波动方程的分离变量法 124

§2.7.2解齐次定解问题的本征函数展开法 131

§2.7.3 强迫振动 非齐次波动方程的解 134

§2.7.4非齐次边界条件的处理 137

§2.7.5 用分离变量法解波动方程举例 141

§2.7.6傅里叶积分法 149

§2.7.7输运方程分离变量法的解 153

§2.7.8用分离变量法求解亥姆霍兹方程 166

§2.7.9 用分离变量法解稳定场的方程 168

第八章积分变换法 194

§2.8.1 傅里叶积分 194

§2.8.2傅里叶变换 196

§2.8.3应用傅里叶变换解微分方程 199

§2.8.5 拉普拉斯变换的存在定理和反演定理 206

§2.8.4拉普拉斯变换的定义 206

§2.8.6拉普拉斯变换的基本性质 208

§2.8.7 拉普拉斯变换的应用举例 211

§2.8.8展开定理 220

第九章 波动方程的行波解 231

§2.9.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 232

§2.9.2齐次化原理 237

§2.9.3 三维波动方程的泊松公式 242

§2.9.4非齐次波动方程的柯西（初值）问题及克希霍夫公式 248

§2.9.5 用行波法解二维波动方程——柱面波 251

§2.10.1 δ函数的概念及其性质 258

第十章格林函数法 258

§2.10.2解初值问题的格林函数法 263

§2.10.3解边值问题的格林函数法 268

§2.10.4 自由空间泊松方程的格林函数 273

§2.10.5 边值问题的格林函数 276

§2.10.6 无界域的基本解和边值问题的格林函数的关系 280

§2.10.7 ？象法求泊松方程边值问题的格林函数 281

§2.10.8 举例 287

第十一章保角变换法 298

§2.11.1 几种最简单的保角变换，线性变换 299

§2.11.3 分式线性变换下圆的特性，反演点对 300

§2.11.2 分式线性变换 300

§2.11.4 变换？=zn 302

§2.11.5变换？=lnz 302

§2.11.6 例题 302

附录 310

Ⅰ 函数的渐近展开 310

Ⅱ 正交函数系 311

Ⅲ 二阶线性偏微分方程的分类和解的一些性质 313

Ⅳ 傅里叶变换表 319

拉普拉斯变换表 320