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第8章 多元函数微分法及其应用 2

8.1多元函数的极限与连续 2

一、平面点集n维欧氏空间及多元函数 2

二、二元函数的极限 7

三、二元函数的连续性 10

习题8.1 12

8.2偏导数与全微分 13

一、偏导数的定义及其计算 13

二、全微分 17

习题8.2 20

8.3方向导数与梯度 21

一、方向导数 21

二、梯度 24

习题8.3 25

8.4多元复合函数的微分法 26

一、多元复合函数的求导法则 26

二、全微分形式不变性 30

习题8.4 31

8.5隐函数的求导公式 32

一、一个方程的情形 32

二、方程组的情形 34

习题8.5 36

8.6高阶偏导数 37

一、高阶偏导数 37

二、高阶全微分 40

习题8.6 41

8.7多元微分学在几何上的应用 42

一、空间曲线的切线与法平面 42

二、曲面的切平面与法线 45

习题8.7 48

8.8多元函数的极值 49

一、多元函数的极值 49

二、条件极值 拉格朗日乘数法 53

习题8.8 57

复习题A 57

复习题B 59

第9章 重积分 62

9.1二重积分的概念与性质 62

一、二重积分实际背景（实例） 62

二、二重积分的定义 64

三、二重积分的性质 65

习题9.1 67

9.2二重积分的计算 67

一、直角坐标系下化二重积分为二次积分 67

二、极坐标系下化二重积分为二次积分 75

习题9.2 81

9.3三重积分概念 83

一、三重积分的定义 83

二、三重积分的物理意义 84

三、化三重积分为累次积分进行计算 84

习题9.3 90

9.4重积分的应用 91

一、曲面的面积 92

二、引力 94

三、质心 95

四、转动惯量 97

习题9.4 99

复习题A 100

复习题B 103

第10章 曲线积分与曲面积分 106

10.1第一类的曲线积分 106

一、第一类的曲线积分的概念与性质 106

二、第一类的曲线积分的计算 108

习题10.1 110

10.2第二类的曲线积分 110

一、第二类的曲线积分的概念与性质 110

二、第二类的曲线积分的计算方法 113

三、两类曲线积分之间的联系 115

习题10.2 116

10.3格林公式和曲线积分与路径无关的条件 117

一、格林公式 117

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 121

三、二元函数的全微分求积 123

习题10.3 125

10.4对面积的曲面积分 126

一、对面积的曲面积分的概念与性质 126

二、对面积的曲面积分的计算 127

习题10.4 129

10.5对坐标的曲面积分 130

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 130

二、对坐标的曲面积分的计算 134

三、两类曲面积分之间的联系 136

习题10.5 139

10.6高斯公式 斯托克斯公式 139

一、高斯公式 139

二、斯托克斯公式 142

三、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系 144

习题10.6 144

复习题A 145

复习题B 146

第11章 无穷级数 149

11.1常数项级数 149

一、常数项级数的基本概念 149

二、收敛级数的基本性质 151

三、正项级数及其审敛法 154

四、交错级数及其审敛法 159

五、绝对收敛与条件收敛 161

习题11.1 164

11.2幂级数 166

一、幂级数及其收敛性 166

二、幂级数的运算 170

三、幂级数的和函数 171

习题11.2 172

11.3函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 172

一、函数展开成幂级数 172

二、幂级数展开式的应用 178

三、欧拉公式 180

习题11.3 182

11.4傅里叶级数 182

一、正弦级数和余弦级数 188

习题11.4 193

复习题A 193

复习题B 195

第12章 微分方程 198

12.1微分方程的概念 198

习题12.1 199

12.2变量分离方程与齐次方程 200

一、变量分离方程 200

二、齐次方程 202

习题12.2 203

12.3一阶线性微分方程与伯努利方程 204

一、一阶线性微分方程 204

二、伯努利方程 206

习题12.3 207

12.4全微分方程 208

习题12.4 210

12.5可降阶的高阶微分方程 211

一、y （n）=f（x）型的微分方程 211

二、y？=f（x，y?）型的微分方程 212

三、y？=f（y，y?）型的微分方程 213

习题12.5 215

12.6高阶线性微分方程 215

习题12.6 219

12.7常系数齐次线性微分方程 219

习题12.7 222

12.8常系数非齐次线性微分方程与欧拉公式 222

一、常系数非齐次线性微分方程 222

二、欧拉方程 225

习题12.8 226

复习题A 227

复习题B 228

参考文献 230