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序言 1

记号 1

1．矩阵是怎样出现的 1

目录 1

练习 7

2．矩阵代数基础 9

2.1 定义 9

2.2基本运算 10

2.2.1 加法 10

2.2.2乘标量 10

2.2.3两个矩阵的乘法 12

2.3.1定义与性质 21

2.3转置 21

2.3.2对称与埃尔米特矩阵 23

2.4分块与子矩阵 25

2.5克罗内克积 28

2.6矩阵的导数 29

练习 30

3．线性方程组的唯一解 34

3.1两个方程与未知数 35

3.2高斯消元法 36

3.3三角分解 41

3.4病态 47

练习 48

4．行列式与逆矩阵 51

4.1行列式 52

4.1.1 3×3情形 52

4.1.2一般性质 55

4.1.3一些应用 61

4.2行列式的求值 63

4.3 逆矩阵 65

4.3.1定义与性质 65

4.3.2分块形式 69

4.4逆矩阵的计算 71

4.5克拉默法则 76

练习 77

5．秩与方程组的非唯一解 84

5.1 唯一解 84

5.2秩的定义 85

5.3等价矩阵 85

5.3.1初等运算 86

5.3.2秩的计算 88

5.3.3标准形 92

5.4方程组的非唯一解 93

5.4.1齐次方程组 93

5.4.2非齐次方程组 97

5.4.3相容性定理 101

5.5最小二乘法 102

5.6克罗内克积的应用 105

5.7向量的线性相关 107

练习 110

6．本征值与本征向量 116

6.1 定义 116

6.2一些应用 119

6.3性质 122

6.3.1 特征方程 122

6.3.2埃尔米特与对称矩阵 125

6.3.3矩阵多项式与凯莱－哈密顿定理 126

6.3.4友阵 131

6.3.5克罗内克积表达式 134

6.4相似性 136

6.4.1 定义 136

6.4.2对角线化 137

6.4.3埃尔米特矩阵与对称矩阵 139

6.4.4变成友阵形式的变换 141

6.5线性微分与差分方程组的解法 142

6.6本征值与本征向量的计算 144

6.6.1幂法 144

6.6.2其它方法 147

6.7线性方程组的迭代解法 147

6.7.1 高斯－塞德尔法与雅可比法 147

6.7.2牛顿－拉夫森型方法 154

练习 156

7．二次形式与埃尔米特形式 163

7.1定义 164

7.2二次形式的拉格朗日简化 168

7.3西勒维斯特的惯性律 171

7.4正负号性质 172

7.4.1 定义 172

7.4.2检验法 173

7.5某些应用 178

7.5.1 几何解释 178

7.5.2 函数的最优化 178

7.5.3瑞利商 180

7.5.4李亚普诺夫稳定性 181

练习 182

8．矩阵函数导论 185

8.1定义与性质 185

8.2西勒维斯特公式 189

8.3线性微分与差分方程组 192

练习 194

文献 195

答案 197

人名对照表 205

索引 205