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第一节函数 1

目 录第一章 函数极限连续 1

一、函数的概念（1） 二、函数的几种特性（4） 三、初等函数（5） 习题1-1 7

第二节极限 8

一、数列的极限（9） 二、函数的极限（13） 三、无穷小与无穷大（19） 习题1—2（1） （22） 四、极限运算法则（23） 五、极限存在准则两个重要极限（28） 六、无穷小的比较 31

习题1—2（2） 34

第三节函数的连续性 35

一、函数连续性的定义（36） 二、间断点（38） 三、初等函数的连续性（41）四、闭区间上连续函数的性质（42） 习题1—3 43

第一章复习题 45

第一节导数的概念 48

第二章导数、微分及其应用 48

一、导数的定义（48） 二、求导数举例（51） 三、导数的几何意义（54） 四、可导与连续的关系（55）习题2—1 56

第二节函数的求导法则 57

一、导数的四则运算法则（57） 二、复合函数的求导法则 60

习题2—2（1）（65）三、反函数求导法则（67） 四、初等函数的导数（69）习题2—2（2） 70

第三节高阶导数 72

习题2—3 75

第四节微分 76

一、微分的定义（76） 二、微分的几何意义（78） 三、微分的运算法则（79） 四、微分在近似计算中的应用（81） 习题2—4 82

第五节 中值定理 84

第六节罗必塔法则 87

习题2—5 87

一、0/0型和∞/∞型未定式（88） 二、其它类型未定式（91）习题2—6 93

第七节导数的应用 94

一、函数单调性判别法（95） 二、函数的极值及其求法 98

三、最大值、最小值问题（102） 习题2—7（1） （105） 四、曲线的凹向与拐点（107） 五、函数图形的描绘（110）习题2-7（2） 113

第八节曲率 114

一、弧微分（114） 二、曲率（115）三、曲率圆与曲率半径 118

习题2—8 119

第二章复习题 120

第三章 积分学 123

第一节不定积分的概念与性质 123

一、原函数与不定积分的概念（123） 二、基本积分表与不定积分的性质（125）习题3—1 128

第二节不定积分的换元积分法和分部积分法 129

一、换元积分法（130）习题3—2（1）（140）二、分部积分法 142

习题3—2（2）（146）三、积分表的使用法（147） 习题3—2（3） 149

第三节定积分的概念与基本性质 149

一、两个实际例子（149） 二、定积分定义（153） 三、定积分的基本性质（155） 习题3—3 160

第四节定积分的计算法 （162 ）一、微积分基本公式（162） 习题3—4（1）（164）二、定积分的换元法（165） 三、定积分的分部积分法（169） 习题3—4（2） 172

第五节无穷积分 174

习题 （3—5） 177

第六节定积分的应用 178

一、微元法（178）二、定积分的几何应用（179）习题3—6（1） 188

三、定积分的物理应用举例（189）四、函数的平均值 192

习题3—6（2） 193

第三章复习题 194

第四章微分方程 197

第一节微分方程的基本概念 197

习题4—1 200

第二节一阶微分方程 201

一、可分离变量的微分方程（201）二、一阶线性微分方程 206

习题4—2 210

第三节两种特殊类型的二阶微分方程 211

一、y″=f（x,y′）型的微分方程（211） 二、y″=f(y,y′)型的微分方程（212） 习题4—3 213

第四节二阶常系数线性微分方程 214

一、二阶常系数线性齐次微分方程（214）二、二阶常系数线性非齐次微分方程（221） 习题4—4 225

第四章复习题 227

第五章多元函数微积分 229

第一节空间图形及其研究 229

一、空间解析几何的基本概念（229）二、柱面方程（234） 三、平面方程（235） 四、空间曲线的方程（238）五、旋转曲面（240）六、用截痕法讨论曲面形状的举例（242） 习题5—1 244

第二节二元函数的基本概念 245

一、二元函数的概念（245） 二、二元函数的极限与连续性 248

习题5—2 251

第三节偏导数与全微分 252

一、偏导数的定义与计算法（252） 二、高阶偏导数（257） 三、全微分（258） 四、多元复合函数的求导法则（261）五、隐函数的求导公式（267）习题5——3 269

第四节多元函数的极值 271

一、多元函数的极值、最大值与最小值（271）二、条件极值 277

*三、最小二乘法简单介绍（278） 习题5—4 283

第五节二重积分 283

一、二重积分的概念与性质（284） 二、二重积分的计算 289

习题5—5 310

第五章复习题 312

第六章无穷级数 315

第一节常数项级数的概念与性质 315

一、常数项级数的概念（315） 二、级数收敛的必要条件 318

三、常数项级数的几个基本性质（320） 习题6—1 321

第二节常数项级数的审敛法 322

一、正项级数及其审敛法（323） 二、交错级数及其审敛法 329

三、任意项级数、绝对收敛（330） 习题6—2 331

第三节幂级数 333

一、幂级数及其收敛区间（333）二、幂级数的运算（338）三、泰勒公式与泰勒级数（340） 四、函数的幂级数展开式（348） 五、函数幂级数展开式的应用（352）习题6—3 355

第四节傅里叶级数 357

一、三角级数、三角函数系的正交性（357） 二、函数展开成傅里叶级数（359）三、偶函数与奇函数的傅氏级数（367） 四、在区间〔？,π〕上将函数展开成正弦级数或余弦级数（371）五、周期为2L的周期函数的傅里叶级数（374） 习题6—4 377

第六章复习题 379

附录一希腊字母 382

初等数学常用公式 382

附录二一些常用的平面曲线、空间曲面和立体图形 386

附录三简易积分表 393

习题答案 403