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第一章 函数的极限与连续性 1

1.1 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 3

三、反函数的概念 5

四、初等函数 5

1.2 函数的极限 8

一、数列的极限 8

二、函数的极限 9

1.3 无穷小量与无穷大量 12

一、无穷小量 12

二、无穷大量 13

三、无穷小量的阶 14

1.4 极限的运算法则 15

1.5 两个重要极限 18

1.6 函数的连续性 21

一、连续和间断的概念 21

二、间断点的分类 23

三、初等函数的连续性 24

四、连续函数的基本性质 25

习题一 25

第二章 导数与微分 29

2.1 导数的概念 29

一、引例 29

二、导数的定义 30

三、函数的连续性与可导性的关系 32

一、求导数的一般步骤 33

2.2 导数公式与求导法则 33

二、导数的运算法则 35

2.3 高阶导数 41

2.4 微分及其应用 42

一、微分的概念 43

二、微分公式与微分法则 44

三、一阶微分形式的不变性 46

四、由参数方程所确定的函数的导数 46

五、微分的应用 47

六、高阶微分 49

习题二 50

第三章 导数在函数研究上的应用 53

3.1 中值定理 53

一、拉格朗日中值定理 53

二、柯西中值定理 55

3.2 洛必塔法则 55

一、O/O型未定式 55

二、∞/∞型未定式 56

3.3 函数的单调性 58

3.4 函数的极值 59

一、函数极值的定义及判别 59

二、函数的最大值与最小值 63

3.5 函数的作图 65

一、曲线的凹凸性与拐点 65

二、曲线的渐近线 67

三、函数图形的描绘 68

习题三 69

第四章 不定积分 71

4.1 不定积分的概念 71

一、原函数 71

二、不定积分 72

三、不定积分的基本性质 73

四、基本积分表 74

4.2 换元积分法 76

一、第一换元法 77

二、第二换元法 81

4.3 分部积分法 84

4.4 有理函数的积分法 88

习题四 94

第五章 定积分及其应用 98

5.1 定积分的概念 98

一、引例 98

二、定积分的定义 101

三、定积分的几何意义 102

二、连续函数的原函数存在定理 104

5.2 积分学基本定理 104

一、变上限的定积分 104

三、微积分学基本定理 105

5.3 定积分的基本性质 107

一、简单性质 107

二、积分中值定理 109

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 110

一、定积分的换元法 110

二、定积分的分部法 113

5.5 定积分的近似计算法 114

一、梯形法 115

二、抛物线法 115

5.6 广义积分 118

一、无限区间上的广义积分 118

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 121

5.7 定积分的应用 122

一、微元分析法 122

二、定积分应用举例 123

习题五 131

第六章 微分方程 135

6.1 微分方程的基本概念 135

一、微分方程 135

二、微分方程的解 136

三、求解微分方程 138

6.2 一阶微分方程 138

一、变量可分离的微分方程 138

二、一阶齐次微分方程 141

三、一阶线性微分方程 143

6.3 可降阶的二阶微分方程 148

一、缺未知函数y的方程 148

二、缺自变量x的方程 151

6.4 二阶常系数线性齐次微分方程 154

一、二阶线性微分方程解的结构 154

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 155

6.5 拉普拉斯变换 159

一、拉普拉斯变换的概念 159

二、拉普拉斯变换的性质 162

三、常系数线性微分方程的拉氏变换解法 165

6.6 微分方程的应用 167

习题六 175

第七章 概率论基础 180

7.1 随机事件及其概率 180

一、随机事件 180

二、随机事件间的关系及运算 181

三、频率与概率 185

四、概率的古典定义 187

7.2 概率的运算 189

一、加法公式 189

二、乘法公式 191

三、全概率公式与逆概率公式 193

四、事件的相互独立性 197

五、伯努利概型及二项概率公式 198

7.3 随机变量及其分布 200

一、随机变量 201

二、离散型随机变量及其概率分布 202

三、随机变量的分布函数 208

四、连续型随机变量 210

7.4 随机变量的数字特征 219

一、数学期望 219

二、方差标准差 225

7.5 极限定理简介 229

一、契贝雪夫不等式 230

二、大数定律 231

三、中心极限定理 232

习题七 235

习题答案 244

附表Ⅰ 简明积分表 257

附表Ⅱ 拉氏变换简表 264

附表Ⅲ 二项分布表 268

附表Ⅳ 泊松分布表 270

附表Ⅴ 正态分布表 276

附表Ⅵ 希腊字母表 278