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第一章 Newton渗流方程 1

1 引言 1

1.1 物理例子 1

1.2 广义解的定义 4

1.3 特殊解 9

2 解的存在唯一性：一维情形 11

2.1 解的唯一性 11

2.2 解的存在性 14

2.3 比较原理 18

2.4 某些推广 22

3 解的存在唯一性：高维情形 26

3.1 比较原理和解的唯一性 26

3.2 解的存在性 31

3.3 某些推广 34

4 解的正则性：一维情形 36

4.1 引理 36

4.2 解的正则性 39

4.3 某些推广 41

5 解的正则性：高维情形 43

5.1 两个技术性引理 43

5.2 广义B2类 44

5.3 解的H？lder连续性 58

6 自由边界的性质：一维情形 62

6.1 扰动的有限传播 62

6.2 扰动的局部化和熄灭性质 67

6.3 自由边界上的微分方程 70

6.4 自由边界的连续可微性 73

6.5 某些进一步的结果 85

7 自由边界的性质：高维情形 86

7.1 自由边界的单调性和H？lder连续性 86

7.2 自由边界的Lipschitz连续性 103

7.3 自由边界上的微分方程 111

8 解的初始迹 112

8.1 Harnaok不等式 113

8.2 主要结果 119

8.3 存在唯一性定理的推广 124

9 其他问题 125

9.1 具强非线性源的方程 125

9.2 解的渐近性质 130

第二章 非Newton渗流方程 134

1 引言 预备知识 134

1.1 引言 物理例子 134

1.2 基本空问和常用引理 136

1.3 广义解的定义 142

1.5 特殊解 147

2 解的存在性 149

2.1 uo∈C∞o(RN)和uo∈L＇(RN)nL∞(RN)的情形 149

2.2 uo∈Lloc(RN)的情形 165

2.3 一些注记 178

3 Harnack不等式和解的初始迹 179

3.1 局部Harnack不等式 179

3.2 整体Harnack不等式 186

3.3 解的初始迹 192

4.1 解的有界性 194

4 解的正则性 194

4.2 解的梯度的有界性 198

4.3 解的H？lder连续性 203

4.4 解的梯度的H？lder连续性 207

5 解的唯一性 222

5.1 辅助命题 222

5.2 唯一性定理及其证明 238

6 自由边界的性质 245

6.1 自由边界的单调性和H？lder连续性 246

7 其他问题 255

6.2 自由边界的Lipschitz连续性 255

7.1 具强非线性源的P-Laplace方程 256

7.2 解的渐近性质 259

第三章 一般二阶拟线性方程 262

1 引言 262

2 一维弱退化方程 264

2.1 有界可测解的唯一性 264

2.2 连续解的存在性 272

2.3 解的H？ldcr连续性 276

2.4 某些推广 277

3 多维弱退化方程 279

3.1 两个退化点情形下连续解的存在性 280

3.2 BV解的唯一性 285

3.3 BV解的存在性 292

3.4 某些推广 296

4 一维强退化方程 297

4.1 问断解与积分不等式 297

4.2 内部间断性条件 299

4.3 Cauchy问题BV解的唯一性 305

4.4 边值条件与积分不等式 315

4.5 边界问断性条件 316

4.6 第一边值问题BV解的唯一性 318

4.7 第一边值问题BV解的存在性 320

4.8 双重退化方程 324

4.9 无穷远退化方程 325

4.10 问断线的性质 326

5.1 有界可积解的唯一性 328

5 不含低阶项的多维强退化方程 328

5.2 关于弱收敛的引理 333

5.3 解的存在性 336

5.4 扰动的有限传播 341

6 一般多维强退化方程 345

6.1 BV解的存在性 346

6.2 BV解的唯一性 353

6.3 BV解的正则性 354

6.4 某些推广 354

7 附录：BV和BVx函数及其性质 355

第四章 高阶非线性扩散方程 360

1 引言 360

2 一个四阶方程的相似解 362

2.1 相似解的定义 363

2.2 初值问题整体解的存在唯一性 364

2.3 解的正则性 367

2.4 解的零点的性质 368

2.5 无界解的性质 369

2.6 半直线上的有界解 370

2.7 整个直线上的有界解 377

2.8 典型情形κ=1，2,3,4时解的性质 379

2.9 相似解当t→O+时的性态 388

3 双重退化方程 390

3.1 解的存在性 391

3.2 解的唯一性 399

3.3 解的加权能量等式 407

3.4 几个辅助不等式 408

3.5 扰动的有限传播 409

3.6 解的渐近性质 413

3.7 解于有限时问内的熄灭 414

3.8 非负解的非存在性 414

3.9 无限传播情形 416

4 具常迁移率的Cahn-Hilliard方程 416

4.1 古典解的存在性 417

4.2 解在有限时问内的爆破(Blow-up) 421

4.3 小初值时整体解的存在性 424

5 具浓度相关正迁移率的Cahn-Hilliard方程 429

5.1 一个变形的Campanato空间 430

5.2 一个线性问题解的H？ldcr模估计 431

5.3 零位势情形 441

5.4 一般情形 446

6 固体表面微滴扩散方程 447

6.1 广义解的定义 448

6.2 逼近解及其一致估计 448

6.3 解的存在性 453

6.4 解的非负性 455

6.5 非负解的零点 459

6.6 解的正则性 460

6.7 解的支集的单调性 462

7 具退化迁移率的Cahn-Hilliard方程 464

7.1 具退化迁移率的模型 464

7.2 物理解的定义 465

7.3 解的存在性 467

7.4 物理解 468

参考文献 474