计算方法典型例题与解法PDF电子书下载

第一章误差分析 1

一、知识点要求 1

二、内容提要 1

§1．产生误差的主要来源 1

§2．绝对误差与绝对误差限（界） 1

§3．相对误差与相对误差限（界） 1

目录 1

§4．有效数字 2

§5．函数求值的误差估计 2

§7．舍入误差的传播及算法的稳定性 3

§6．算法的收敛性与收敛速度 3

§8．计算的复杂性 4

三、典型例题与方法 4

§1．题型一：绝对误差、相对误差及有效数字的估计 4

§2．题型二：函数求值的误差估计 5

§3．题型三：截断误差的估计及收敛性分析 6

§4．题型四：舍入误差的传播及数值稳定性分析 7

§5．题型五：算法的设计及比较 7

§6．题型六：其他题型如模型性态（病态、良态）、计算复杂性等的讨论 9

§1．同步训练 10

§2．综合训练 10

四、习题 10

§3．同步训练解答 12

§4．综合训练解答 14

第二章函数插值 19

一、知识点要求 19

二、内容提要 19

§1．函数插值的意义及概念 19

§2．拉格朗日（Lagrange）插值多项式 20

§3．牛顿（Newton）插值多项式 20

§4．等距节点插值公式 21

§6．分段低次插值 23

§5．带导数条件的埃尔米特（Hermie）插值 23

三、典型例题与方法 27

§1．题型一：求函数在节点处的各阶（次）差商及等距节点的差分 27

§2．题型二：求各种类型的插值多项式，被插函数f(x)在某些点处的近似值、估计误差 28

§3．题型三：推导插值多项式的余项公式，被插函数和插值多项式或插值基函数满足的关系 31

§4．题型四：求分段低次插值函数、估计误差、讨论收敛性；计算等距节点数等 35

§5．题型五：讨论插值函数的存在唯一性，推导与插值函数有关的关系式等 36

四、习题 39

§1．同步训练 39

§2．综合训练 41

§3．同步训练解答 42

§4．综合训练解答 47

第三章函数逼近与曲线拟合 56

一、知识点要求 56

二、内容提要 56

§1．预备知识——内积空间与范数 56

§2．正交多项式的有关概念 57

§3．函数逼近 59

§4．离散数据的曲线拟合 65

三、典型例题与方法 66

§1．题型一：求向量或连续函数的内积和范数 66

§2．题型二：正交多项式的推导、递推公式的证明及其在求导、定积分计算中的应用 67

§3．题型三：求函数的最佳平方逼近多项式，并估计平方误差 69

§4．题型四：求函数的最佳（一致）逼近或近似最佳（一致）逼近，并估计误差 72

§5．题型五：曲线拟合 75

§6．题型六：其他题型 76

四、习题 77

§1．同步训练 77

§2．综合训练 78

§3．同步训练解答 79

§4．综合训练解答 83

§1．数值求积公式及代数精确度 90

二、内容提要 90

一、知识点要求 90

第四章数值积分与数值微分 90

§2．Causs求积公式 92

§3．复化（合）求积公式 94

§4．数值微分 95

§5．里查德逊（Richardson）外推算法和龙贝格（Romberg）求积公式 98

三、典型例题与方法 100

§1．题型一：确定或验证数值求积公式和数值微分公式的参数，使其代数精确度尽量高或对次数≤m的多项式精确成立，并推出其余项 100

§2．题型二：计算定积分和函数导数的近似值，并估计误差或满足指定的误差要求 106

§3．题型三：确定复化（合）求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足给定的精度要求 108

§4．题型四：推导数值求积公式和数值微分公式或其系数，及余项或截断误差的表达式 110

§5．题型五：数值求积公式和数值微分公式的收敛性、收敛速度、计算效率、计算结果的精度分析等 112

四、习题 114

§1．同步训练 114

§2．综合训练 115

§3．同步训练解答 117

§4．综合训练解答 121

第五章常微分方程数值解法 129

一、知识点要求 129

二、内容提要 129

§1．基本概念 129

§2．Euler方法 130

§3．龙格-库塔方法 133

§4．单步法的收敛性与稳定性 136

§5．线性多步法 137

§6．常微分方程组与高阶常微分方程情形 140

§7．常微分方程边值问题的数值解法 141

三、典型例题与方法 143

§1．题型一：对给定的常微分方程初值问题，选用给定（或合适的）数值方法进行求解 143

§2．题型二：给定常微分方程初值问题的某种数值方法，证明其阶次 150

§3．题型三：建立常微分方程初值问题的某种数值方法或确定给定方法中的某些参数 152

§4．题型四：给定某种常微分方程求解的单步法，分析总体稳定性条件，并确定其绝对稳定性区间 155

§1．同步训练 156

四、习题 156

§2．综合训练 157

§3．同步训练解答 159

§4．综合训练解答 165

第六章方程求根 169

一、知识点要求 169

二、内容提要 169

§1．根的搜索 169

§2．迭代法 170

§3．Newton法 172

§4．割线法 173

§5．代数方程求根 176

§1．题型一：对给定的非线性方程，选择合适的迭代方法确定该方程的近似根 177

三、典型例题与方法 177

§2．题型二：给定方程求根的迭代格式，判断迭代是否收敛，如收敛确定其收敛阶次 183

§3．题型三：推导某些非线性方程求根的迭代格式，或确定某给定迭代格式的系数，使其具有尽可能高的收敛阶次 187

四、习题 188

§1．同步训练 188

§2．综合训练 189

§3．同步训练解答 190

§4．综合训练解答 197

二、内容提要 203

§1．Gauss消去法 203

一、知识点要求 203

第七章解线性方程组的直接方法 203

§2．Causs主元素消去法 206

§3．Gauss消去法变形 207

§4．向量和矩阵的范数及有关性质 210

§5．误差分析 211

三、典型例题与方法 212

§1．题型一：对给定线性代数方程组，用Gauss消去法（顺序Gauss消去法、全主元Gauss消去法）和直接三角分解法（如LU分解法、选主元的LU分解法等）求解 212

§2．题型二：判断、求解范数，求谱半径、条件数 218

§3．题型三：应用矩阵条件数对Ax=b求解作误差分析 221

§1．同步训练 223

四、习题 223

§2．综合训练 225

§3．同步训练解答 227

§4．综合训练解答 234

第八章解线性方程组的迭代法 239

一、知识点要求 239

二、内容提要 239

§1．Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 239

§2．迭代法的收敛性 241

§1．题型一：用Jacobi、Gauss-Seidel和超松弛迭代法求解线性代数方程组，判断迭代方法的收敛性 243

三、典型例题与方法 243

§2．题型二：根据迭代法收敛条件构造收敛等价方程组 251

四、习题 253

§1同步训练 253

§2综合训练 255

§3同步训练解答 256

§4综合训练解答 261

第九章矩阵的特征值与特征向量计算 264

一、知识点要求 264

二、内容提要 264

§1代数特征值的基本概念 264

§2幂法和反幂法 265

§3雅可比（Jacobi）方法 267

§4豪斯荷尔德（Householder）方法 269

§5 QR方法 270

三、典型例题与方法 271

§1．题型一：给定特征值问题的数值求解 271

§2．题型二：化矩阵（向量）为某一特殊矩阵（向量） 280

§3．题型三：其它题型，如特征值或特征向量的表示、算法的收敛速度等 281

四、习题 282

§1．同步训练 282

§2．综合训练 284

§3．同步训练解答 285

§4．综合训练解答 293

第十章应试模拟 299

一、本科生期末考试模拟试卷（一） 299

二、本科生期末考试模拟试卷（二） 300

本科生期末考试模拟试卷（一）参考答案 301

本科生期末考试模拟试卷（二）参考答案 304

三、硕士研究生入学考试卷（一） 306

四、硕士研究生入学考试卷（二） 307

硕士研究生入学考试卷（一）参考答案 308

硕士研究生入学考试卷（二）参考答案 311