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第一章 自然数 6

1．整数计算 7

2．数系的无限性．数学归纳法 15

补充数论 27

1．素数 28

2．同余 39

3．毕达哥拉斯数和费马大定理 48

4．欧几里得辗转相除法 51

1．有理数 61

第二章 数学的数系 61

2．不可通约线段．无理数．极限概念 67

3．解析几何摘要 83

4．无限的数学分析 87

5．复数 99

6．代数数和超越数 114

补充集的代数 119

第三章 几何作图法．数域的代数 129

1．基本的几何作图题 132

第一部分 不可能性的证明和代数 132

2．可构成的数和数域 139

3．希腊三大问题的不可解性 147

第二部分 各种不同的作图法 154

4．几何变换．反演 154

5．用其他工具作图法．马斯歇洛尼单用圆规作图法 160

6．再论反演及其应用 172

第四章 射影几何．公理系统．非欧几何学 179

1．引言 179

2．基本概念 182

3．交比 186

4．平行性与无穷远 195

5．应用 201

6．解析表达式 208

7．有关单用直尺作图的问题 213

8．二次曲线和二次曲面 215

9．公理系统和非欧几何学 230

补充高于三维的几何 243

第五章 拓扑学 251

1．多面体的欧拉公式 252

2．图形的拓扑性质 257

3．拓扑定理的其他例子 261

4．曲面的拓扑分类 274

补充 281

第六章 函数与极限 289

1．变量与函数 290

2．极限 307

3．连续趋近的极限 322

4．连续性的精确定义 330

5．连续函数的两个基本定理 333

6．波尔泰诺定理的若干应用 338

补充关于极限与连续性的若干例 343

1．极限的例 343

2．连续性的例 350

第七章 极大和极小 351

1．初等几何的问题 352

2．极值问题的一般原理 361

3．平稳点与微分学 364

4．许瓦尔兹三角形问题 369

5．史坦纳问题 378

6．极值和不等式 385

7．极值的存在性．狄利克雷原理 391

8．等周问题 397

9．具有边界条件的等周问题．史坦纳问题与等周问题之间的联系 401

10．变分法 404

11．极小问题的实验解．肥皂膜实验 410

第八章 微积分 422

1．积分 424

2．导数 440

3．微分法的技巧 454

4．莱布尼兹的符号与“无穷小” 460

5．微积分的基本定理 463

6．指数函数与对数 470

7．微分方程 483

补充 491

1．原则性的问题 491

2．数量级 498

3．无穷级数和无穷乘积 502

4．通过统计方法得到素数定理 514

附录补充注解．问题和练习 518