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目录 1

第一篇解析几何（平面部分）一、平面上的直角坐标系 1

（一）主要内容 1

1.1基本概念 1

1.2基本公式 1

1.3求曲线的方程和两曲线交点的坐标 2

（二）例题 2

（三）习题 7

1.2直线方程的各种形式 10

1.1直线的倾角和斜率的概念 10

（一）主要内容 10

二、直线 10

1.3定理 11

1.4直线方程各种形式间的互化，特别是将直线方程的一般式化为法线式和截距式 11

1.5有关直线的基本问题 11

1.6直线束 12

（二）例题 12

（三）习题 18

三、圆锥曲线及其标准方程 20

（一）主要内容 20

1.1圆 20

1.3双曲线 21

1.4抛物线 21

1.2椭圆 21

（二）例题 22

（三）习题 26

四、二次曲线的一般理论 27

（一）主要内容 27

1.1二次曲线与直线的相关位置 27

1.2二次曲线的渐近 29

方向 29

1.3二次曲线的中心 30

1.4二次曲线的渐近线 33

1.5二次曲线的切线 33

1.6二次曲线的直径 34

1.9平面直角坐标系的旋转变换公式 36

1.7二次曲线的主方向和主直径 36

1.8平面直角坐标系的平移变换公式 36

1.10利用坐标变换化简一般二元二次方程 37

1.11坐标变换下二次曲线的不变量 38

1.12利用不变量化简二次曲线方程 38

（二）例题 39

（三）习题 52

五、参数方程 53

（一）主要内容 53

1.1 曲线的参数方程的概念 53

1.2 曲线的参数方程和普通方程的互化 53

1.4几种常见曲线的参数方程 54

1.3利用参数方程求动点的轨迹 54

（二）例题 55

1.5参数方程图形的描绘 55

（三）习题 59

六、极坐标方程 61

（一）主要内容 61

1.1极坐标系的建立 61

1.2曲线的极坐标方程 61

1.3极坐标与直角坐标的关系，曲线的直角坐标方程和极坐标方程的互化 61

1.4极坐标方程的图形 62

（二）例题 62

（三）习题 64

1.1空间直角坐标系 66

第一篇解析几何（空间部分）一、向量代数 66

（一）主要内容 66

1.2两个基本公式 67

1.3向量（矢量） 68

1.4向量的线性运算 69

1.5共线向量和共面向量 71

1.6向量的坐标表示 72

1.7向量的数量积（内积） 73

1.8向量的方向角与方向余弦 74

1.9向量的向量积（外积） 74

1.10向量的混合积 75

（二）例题 77

1.11二重向量积 77

（三）习题 83

二、平面 85

（一）主要内容 85

1.1平面方程的各种形式 85

1.2定理 87

1.3平面方程不同形式的互化 87

1.4点到平面的距离 87

1.5两平面的位置关系 88

（二）例题 88

（三）习题 93

1.1直线方程的各种形式 95

三、空间直线 95

（一）主要内容 95

1.2直线方程不同形式间的互化 97

1.3直线与平面的位置关系 97

1.4空间两直线的位置关系 98

1.5平面束的方程 99

（二）例题 99

（三）习题 107

1.4以原点为顶的锥面方程 111

1.3母线平行于坐标轴的柱面方程 111

1.2球面方程 111

1.1曲面方程的概念，曲线方程的概念 111

（一）主要内容 111

四、特殊曲面 111

1.5旋转曲面的方程 112

1.6参数方程 112

（二）例题 113

（三）习题 117

五、二次曲面 119

（一）主要内容 119

1.1标准方程 119

1.2单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性 121

（二）例题 123

（三）习题 129

第二篇数学分析 131

一、函数 131

（一）基本内容及要求 131

（二）问题与解答 132

（三）习题 143

二、极限 145

（一）基本内容及要求 145

（二）问题与解答 147

（三）习题 159

（二）问题与解答 162

（一）基本内容及要求 162

三、连续函数 162

（三）习题 173

四、导数与微分 174

（一）基本内容及要求 174

（二）问题与解答 176

（三）习题 196

五、微分学中值定理和泰勒公式 199

（一）基本内容及要求 199

（二）问题与解答 200

（三）习题 218

（一）基本内容及要求 220

六、利用导数研究函数 220

（二）问题与解答 222

（三）习题 233

七、不定积分 234

（一）基本内容及要求 234

（二）问题与解答 235

（三）习题 245

八、定积分 246

（一）基本内容及要求 246

（二）问题与解答 247

（三）习题 264

（一）基本内容及要求 267

九、定积分的应用 267

（二）问题与解答 268

（三）习题 273

十、数项级数 274

（一）基本内容及要求 274

（二）问题与解答 275

（三）习题 292

十一、函数项级数 295

（一）基本内容及要求 295

（二）问题与解答 295

（三）习题 309

（一）基本内容及要求 310

十二、幂级数 310

（二）问题与解答 311

（三）习题 327

第三篇高等代数 329

一、基本概念 329

（一）集（集合） 329

（二）映射 331

（三）数环和数域 334

二、一元多项式 337

（一）一元多项式的基本概念及运算 337

（二）任意数域上多项式的因式分解 344

（三）关于整数的整除性和因式分解 360

（四）关于整数环上多项式的整除性和因式分解 366

（五）复数域、实数域和有理数域上的多项式 370

三、消元法 377

（一）线性方程组 377

（二）消元法的理论根据及实质 378

（三）消元法 379

四、n阶行列式 389

（一）n阶行列式的定义 389

（二）n阶行列式的性质和计算 395

（三）克莱姆规则 404

（一）n元向量及其运算 409

五、n元向量及其线性相关性 409

（二）向量的线性组合 411

（三）向量的线性相关与线性无关 416

（四）极大线性无关组 425

（五）矩阵的秩 428

六、线性方程组理论 435

（一）线性方程组解的判定 435

（二）基础解系 448

七、矩阵的运算 452

（一）线性运算及乘法 452

（二）逆矩阵 458

（三）初等矩阵 464

习题答案与部分题解 476