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第六章空间解析几何和矢量代数 1

6—1空间直角坐标系、矢量代数 1

Ⅰ． 内容提要 1

1． 空间直角坐标系 1

2． 矢量代数 2

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 5

1． 根据有关定义、直接进行计算的题 6

2． 根据矢量的有关定义进行判断的题 7

3． 用矢量的方法证明图形的几何性质 10

4． 应用矢量的运算性质进行计算和证明的题 12

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 14

Ⅳ． 补充题 17

6—2空间平面的方程与直线的方程 18

Ⅰ． 内容提要 18

1． 空间平面的方程 18

2． 空间直线的方程 19

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 21

1． 由已知条件写出平面或直线的方程 21

2． 点、平面、直线间的位置关系 26

3． 点到直线或平面的距离、两直线间的距离 30

4． 综合题 36

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 44

Ⅳ． 补充题 50

6—3二次曲面 52

Ⅰ． 内容提要 52

1． 球面 53

2． 椭球面 53

3． 锥面 53

4．椭球抛物面 53

5． 单叶双曲面 53

6． 双叶双曲面 53

7． 双曲抛物面 53

8． 柱面 53

9． 旋转曲面 53

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 53

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 61

Ⅳ． 补充题 65

第七章多元函数微分学 68

7—1函数、极限、连续 68

Ⅰ． 内容提要 68

1． 有关平面点集的简单知识 68

2． 二元函数的定义 68

3． 二元函数极限的定义 69

4． 二元函数极限的运算法则 69

5． 二元函数连续性的定义 70

6． 在有界闭区域上的二元连续函数的性质 70

7． 二元函数的运算性质 71

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 71

1． 建立函数表达式 71

2． 求定义域 73

3． 二元函数的极限 76

4． 讨论二元函数的连续性 80

5． 综合题 82

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 85

Ⅳ． 补充题 87

7—2偏导数、全微分及其在近似计算中的应用 87

Ⅰ． 内容提要 87

1． 偏导数的意义 88

2． 偏导数与连续的关系 88

3． 全增量的意义 88

4． 全微分的定义 88

5． 可微与偏导数的关系 89

6． 高阶偏导数 89

7． 可微函数全增量的近似表达式 90

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 90

1． 求一阶偏导数、高阶偏导数 90

2． 证明偏导数满足给定的方程 94

3． 全微分及应用全微分进行近似计算 95

4． 连续、可导、可微之间关系的讨论 98

5． 综合题 101

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 105

Ⅳ． 补充题 107

7—3多元函数的微分法 108

Ⅰ．内容提要 108

1． 复合函数微分法 108

2． 全微分的微分形式不变性 109

3． 隐函数的微分法 109

4． 用参数方程表示的函数的微分法 110

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 111

1． 复合函数微分法 111

2． 隐函数的微分法 118

3． 由参数方程所表示之函数的微分法 136

4． 综合题 138

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 142

Ⅳ． 补充题 145

7—4偏导数的应用 147

Ⅰ． 内容提要 147

1． 空间曲线的切线及法平面 147

2． 空间曲面的切平面及法线 147

3． 方向导数、梯度 148

4． 二元函数的泰勒展式 149

5． 极值、最大值和最小值 150

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 151

1． 空间曲线的切线与法平面 151

2． 空是曲面的切平面与法线 154

3． 方向导数、梯度 157

4． 二元函数的泰勒展式 160

5． 极值、最大值和最小值 164

6． 综合题 174

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 179

Ⅳ． 补充题 184

第八章重积分 187

8—1二重积分 187

Ⅰ． 内容提要 187

1． 定义 187

2． 存在定理 187

3． 几何意义 187

4． 性质 188

5． 计算方法——累次积分法 189

6． 二重积分的变量替换公式 190

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 191

1． 二重积分的计算 191

2． 二重积分计算中的几个技巧问题 194

3． 综合题 207

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 218

Ⅳ．补充题 218

8—2三重积分 220

Ⅰ． 内容提要 220

1． 定义 220

2． 三重积分的存在性 220

3．性质 220

4． 计算方法 220

5． 三重积分的变量替换公式 222

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 223

1． 三重积分的计算步骤 223

2． 计算三重积分的几个技巧问题 226

3． 综合题 239

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 246

Ⅳ． 补充题 251

8—3重积分的应用 252

Ⅰ． 内容提要 252

1． 曲面的面积 252

2． 质量 253

3． 静力矩和重心 253

4． 转动惯量 254

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 254

1． 曲面的面积 255

2．质量 258

3． 重心 262

4． 转动惯量 265

5．综合题 268

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 271

Ⅳ． 补充题 275

第九章曲线积分、曲面积分 276

9—1曲线积分 276

Ⅰ． 内容提要 276

1． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 276

2． 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 278

3． 两类曲线积分之间的关系 279

4． 格林公式·曲线积分与路径无关的条件 280

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 280

1． 第一型曲线积分 280

2． 第二型曲线积分 287

3．综合题 304

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 311

Ⅳ． 补充题 317

9—2曲面积分 319

Ⅰ． 内容提要 319

1． 第一型曲面积分（对曲面的面积的曲面积分） 319

2． 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） 320

3． 两类曲面积分之间的关系 322

4． 奥、斯公式 323

5．面积分与曲面（形状）无关的条件 323

6． 四个等价条件 324

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 324

1． 第一型曲面积分的计算 324

2． 第二型曲面积分 330

3． 斯托克斯公式的应用 339

4． 空间曲线积分与路径无关问题、求原函数问题 344

5． 综合题 347

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 352

Ⅳ． 补充题 360

9—3矢量分析补步 361

Ⅰ． 内容提要 361

1． 矢量函数的极限、连续和微商 361

2． 矢量场 364

3．二阶微分算子 366

4． 几种重要的矢量场 367

Ⅱ．解题方法分类指导与范例 367

1．通量、散度 367

2． 环量、旋度 371

3． 综合题 376

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 379

Ⅳ． 补充题 383

第十章无穷级数 385

10—1常数项级数 385

Ⅰ． 内容提要 385

1． 数项级数的基本概念和性质 385

2． 数项级数敛散性的判别法 386

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 388

1． 数项级数判敛的一般步骤和方法选择 388

2． 一般判敛法 390

3． 正项级数的判敛法 395

4． 交错级数的判敛法 405

5． 任意项级数的判敛法 408

6． 综合题 411

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 418

Ⅳ． 补充题 424

10—2幂级数 426

Ⅰ． 内容提要 426

1． 函数项级数的基本概念 426

2． 幂级数的收敛半径、收敛区域及和函数 428

3． 展开函数为幂级数、幂级数的应用 430

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 431

1． 求幂级数的收敛半径和收敛区间 431

2． 求幂级数在收敛区间内的和函数 437

3．将函数展开成幂级数 445

4． 幂级数的应用 462

5．综合题 470

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 477

Ⅳ． 补充题 485

10—3付里叶（Fourier）级数 486

Ⅰ． 内容提要 486

1． 三角级数、三角函数系的正交性 487

2． 付里叶级数及其收敛定理 487

3． 正弦级数与余弦级数 489

4． 付氏级数的复数形式 489

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 489

1． 将以2π为周期的函数展成付氏级数 489

2． 在有限区间上展开函数为付氏级数 493

3． 奇、偶函数的付氏级数 497

4． 将定义在任意区间［—L,L］上的函数f（x）展成付氏级数 501

5． 将在区间［0,π］或［0,L］上定义的函数展成正弦（或余弦）级数 507

6． 将函数展为复数形式的付氏级数 515

7． 综合题 518

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 529

Ⅳ． 补充题 529

第十一章广义积分和含参变量的积分 538

11—1广义积分 538

Ⅰ．内容提要 538

1． 无穷积分 538

2． 瑕积分 541

3． Г—函数与B—函数（欧拉（Euler）积分） 543

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 544

1． 广义积分的计算方法 544

2． 广义积分的判敛方法 555

3．综合题 565

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 572

Ⅳ． 补充题 578

11—2含参变量的积分 579

Ⅰ． 内容提要 579

1． 含参变量的积分 579

2． 含参变量的广义积分 581

Ⅱ． 解题方法分类指导与范例 582

1． 应用连续性求含参变量积分的极限 583

2． 应用公式求含参变量积分的导数 585

3． 应用对参数的微分法计算积分 588

4． 应用积分符号下的积分法计算积分 590

5． 判别含参数广义积分的一致收敛性 592

6． 广义积分号下的微分法与积分法 595

Ⅲ． 课堂练习题及其说明 598

Ⅳ． 补充题 603

附录 605

附录1 计算机及应用专业教育质量评估正式试点（1988．6）《高等数学》统考试题及其参考解答与评分标准 605

附录2硕士学位研究生招生考试全国统一数学试题汇编 614