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第8章 空间解析几何与向量代数 1

8.1 空间直角坐标系及空间中两点间的距离 1

8.1.1 空间直角坐标系 1

8.1.2 空间中两点间的距离公式 3

习题8-1 4

8.2 向量及其运算 4

8.2.1 向量的概念 4

8.2.2 向量的线性运算 5

8.2.3 向量的分解与坐标表示 8

8.2.4 向量的模和方向余弦 10

习题8-2 11

8.3 向量的数量积与向量积 11

8.3.1 向量的数量积 11

8.3.2 向量在轴上的投影 13

8.3.3 向量的向量积 15

习题8-3 17

8.4 曲面及其方程 17

8.4.1 曲面方程的概念 17

8.4.2 两类特殊的曲面 19

8.4.3 平面及其方程 21

习题8-4 26

8.5 空间直线及其方程 26

8.5.1 空间直线的一般方程 26

8.5.2 空间直线的点向式方程与参数方程 27

8.5.3 两直线的夹角 29

习题8-5 29

8.6 空间曲线及其方程 30

8.6.1 空间曲线的一般方程 30

8.6.2 空间曲线的参数方程 31

8.6.3 空间曲线在坐标平面上的投影 32

习题8-6 33

8.7 二次曲面 34

习题8-7 38

复习题8 38

第9章 多元函数微分及其应用 41

9.1 多元函数的基本概念 41

9.1.1 平面区域的概念 41

9.1.2 二元函数的概念 43

9.1.3 二元函数的极限 45

9.1.4 二元函数的连续性 47

习题9-1 49

9.2 偏导数与高阶偏导数 50

9.2.1 偏导数的定义及计算方法 50

9.2.2 高阶偏导数 53

习题9-2 55

9.3 全微分及其应用 56

9.3.1 全微分的定义 56

9.3.2 函数可微的条件 57

9.3.3 全微分的计算 59

9.3.4 全微分在近似计算中的应用 61

习题9-3 62

9.4 多元复合函数微分法 63

9.4.1 多元复合函数求导法则 63

9.4.2 全微分形式不变性 66

习题9-4 68

9.5 隐函数求导法则 69

9.5.1 一个方程的情形 69

9.5.2 方程组的情形 72

习题9-5 75

9.6 偏导数的几何应用 76

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 76

9.6.2 空间曲面的切平面与法线 79

习题9-6 81

9.7 多元函数的极值及其求法 82

9.7.1 二元函数极值的概念 82

9.7.2 二元函数的最大值与最小值 85

9.7.3 条件极值 拉格朗日乘数法 87

习题9-7 91

9.8 方向导数与梯度 91

9.8.1 问题的提出 91

9.8.2 方向导数 92

9.8.3 梯度 95

习题9-8 98

9.9 数学建模举例 99

9.9.1 数学模型 99

9.9.2 最小二乘法 100

9.9.3 线性规划问题 102

复习题9 104

第10章 重积分 106

10.1 二重积分的概念与性质 106

10.1.1 引例 106

10.1.2 二重积分的概念 108

10.1.3 二重积分的性质 109

习题10-1 112

10.2 直角坐标系下二重积分的计算 113

10.2.1 二重积分的累次积分 113

10.2.2 二重积分的对称性质 119

习题10-2 121

10.3 二重积分的换元法 122

10.3.1 极坐标系下二重积分的计算 122

10.3.2 二重积分的换元法 126

习题10-3 128

10.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算 129

10.4.1 三重积分的概念 129

10.4.2 直角坐标系下三重积分的计算 131

10.4.3 三重积分的对称性质 133

习题10-4 134

10.5 柱面坐标系下和球面坐标系下三重积分的计算 135

10.5.1 柱面坐标系下三重积分的计算 135

10.5.2 球面坐标系下三重积分的计算 138

习题10-5 139

10.6 重积分的应用 141

10.6.1 曲面的面积 141

10.6.2 物体的质心 143

10.6.3 物体的转动惯量 145

10.6.4 引力 147

习题10-6 148

复习题10 149

第11章 曲线积分和曲面积分 152

11.1 对弧长的曲线积分 152

11.1.1 对弧长的曲线积分的定义 152

11.1.2 对弧长的曲线积分的性质 153

11.1.3 对弧长的曲线积分的计算方法 154

习题11-1 156

11.2 对坐标的曲线积分 157

11.2.1 对坐标的曲线积分的定义 157

11.2.2 对坐标的曲线积分的性质 159

11.2.3 对坐标的曲线积分的计算方法 160

习题11-2 166

11.3 曲线积分与路径无关的条件 166

11.3.1 格林公式 166

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 171

习题11-3 175

11.4 第一型曲面积分 176

11.4.1 第一型曲面积分的概念与性质 176

11.4.2 第一型曲面积分的计算方法 178

习题11-4 180

11.5 第二型曲面积分 181

11.5.1 曲面的侧 181

11.5.2 对坐标的曲面积分的计算方法 186

11.5.3 两类曲面积分之间的联系 189

习题11-5 191

11.6 高斯公式与斯托克斯公式 191

11.6.1 高斯公式 191

11.6.2 通量与散度 194

11.6.3 斯托克斯公式 198

11.6.4 环流量与旋度 202

习题11-6 203

复习题11 205

第12章 无穷级数 209

12.1 数项级数的概念和性质 209

12.1.1 数项级数及其敛散性 209

12.1.2 数项级数的基本性质 212

习题12-1 213

12.2 正项级数及其敛散性判别法 214

习题12-2 220

12.3 任意项级数 220

12.3.1 交错级数 221

12.3.2 任意项级数及其敛散性判别法 222

习题12-3 224

12.4 幂级数 224

12.4.1 函数项级数 224

12.4.2 幂级数及其敛散性 225

12.4.3 幂级数的运算 229

习题12-4 232

12.5 函数的幂级数展开 232

12.5.1 展开定理 233

12.5.2 函数幂级数展开的应用举例 236

习题12-5 237

12.6 Fourier级数 238

12.6.1 Fourier级数的定义 238

12.6.2 正弦级数和余弦级数 243

12.6.3 一般周期函数的Fourier级数 244

12.6.4 几个预备结果 246

12.6.5 Dirichlet收敛定理的证明 249

习题12-6 250

复习题12 251

部分习题参考答案 253

参考文献 266