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第1章 典型方程的导出和定解问题 1

1.1典型方程的导出 1

1.1.1弦振动方程 2

1.1.2热传导方程 5

1.1.3传输线方程 6

1.1.4电磁场方程 7

1.2定解条件和定解问题 8

1.2.1定解条件 8

1.2.2定解问题 10

1.3二阶线性偏微分方程的分类 11

习题1 12

第2章 傅里叶级数方法——特征展开法和分离变量法 14

2.1预备知识 15

2.1.1正交函数系 15

2.1.2线性方程的叠加原理 16

2.2齐次化原理 16

2.2.1常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理 17

2.2.2弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理 19

2.3特征值问题 20

2.3.1问题的提出 20

2.3.2施图姆-刘维尔问题 21

2.3.3例子 22

2.4特征展开法 25

2.4.1热传导方程的初边值问题 25

2.4.2弦振动方程的初边值问题 27

2.5分离变量法 29

2.5.1有界弦的自由振动问题 30

2.5.2有界杆上的热传导问题 33

2.5.3拉普拉斯方程的定解问题 34

2.6非齐次边界条件的处理 38

2.7物理意义，驻波法与共振 41

习题2 43

第3章 积分变换及其应用 47

3.1傅里叶变换 47

3.2傅里叶变换的应用 50

3.2.1热传导方程的初值问题 50

3.2.2弦振动方程的初值问题 53

3.2.3积分方程 56

3.3半无界问题：对称延拓法 57

3.4拉普拉斯变换 58

3.4.1拉普拉斯变换的概念 58

3.4.2拉普拉斯变换的性质 59

3.4.3拉普拉斯变换的应用 61

习题3 65

第4章 双曲型方程的初值问题——行波法、球面平均法和降维法 68

4.1弦振动方程的初值问题的行波法 68

4.2达朗贝尔公式的物理意义 70

4.3三维波动方程的初值问题的球面平均法 72

4.3.1三维波动方程的球对称解 72

4.3.2三维波动方程的泊松公式 73

4.4二维波动方程的初值问题的降维法 75

4.5泊松公式的物理意义、惠更斯原理 77

习题4 78

第5章 位势方程的格林函数方法 81

5.1 δ-函数 81

5.1.1 δ-函数的概念 81

5.1.2 δ-函数的性质 82

5.2格林公式与基本解 83

5.2.1格林公式 83

5.2.2基本解 83

5.3调和函数的基本积分公式及一些基本性质 85

5.4格林函数 86

5.5特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解 88

5.5.1上半空间的格林函数、泊松公式 88

5.5.2球上的格林函数、泊松公式 90

5.6保角变换及其应用 92

5.6.1解析函数的保角性 92

5.6.2常用的保角变换 94

5.6.3利用保角变换求解二维稳定场问题 99

习题5 101

第6章 特殊函数及其应用 104

6.1问题的导出 104

6.2贝塞尔函数 106

6.2.1贝塞尔方程的级数解法 106

6.2.2贝塞尔函数的性质 109

6.2.3其他类型的贝塞尔函数 114

6.3贝塞尔函数的应用 116

6.4勒让德函数 119

6.4.1勒让德方程的幂级数解 119

6.4.2勒让德多项式的性质 121

6.4.3连带勒让德方程 123

6.5勒让德多项式的应用 124

习题6 125

第7章 特殊解法和特殊解 128

7.1线性发展方程初值问题的幂级数解 128

7.2输运方程 132

7.3 Hopf-Cole变换 134

7.3.1伯格方程的Hopf-Cole变换 134

7.3.2 KdV方程的广义Hopf-Cole变换 136

7.4自相似解 138

7.5行波解 141

7.5.1直接积分法 142

7.5.2待定导数法 143

7.5.3待定系数法 145

习题7 147

附录A双曲函数 149

附录B积分变换表 150

附录C贝塞尔函数的零点表 152

附录D部分习题参考答案 153

参考文献 161