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第1章 函数 1

1.1 函数的概念与表达方式 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的定义 2

1.1.3 函数的四种表示方式 3

1.2 具有特定几何特征的函数 8

1.2.1 单调函数 8

1.2.2 有界函数 9

1.2.3 奇函数与偶函数 9

1.2.4 周期函数 9

1.3 反函数与复合函数 10

1.3.1 反函数 10

1.3.2 复合函数 12

1.4 初等函数 13

1.4.1 基本初等函数 13

1.4.2 初等函数 18

第2章 极限与连续 19

2.1 数列的极限 19

2.1.1 数列极限的定义 19

2.1.2 数列极限的运算法则 22

2.1.3 数列极限的性质 23

2.2 函数的极限 26

2.2.1 函数极限的定义 26

2.2.2 无穷小量 29

2.2.3 利用函数的图形或数值变化求极限 29

2.3 函数极限的性质及运算法则 31

2.3.1 函数极限的性质 31

2.3.2 函数极限的运算法则 33

2.4 函数的连续性 35

2.4.1 函数连续性的概念 35

2.4.2 函数的间断点 36

2.4.3 连续函数的运算性质 36

2.4.4 闭区间上连续函数的性质 38

第3章 一元函数微分学 41

3.1 导数与微分的概念 41

3.1.1 两个实例 41

3.1.2 导数的定义与性质 42

3.1.3 微分的定义 45

3.1.4 微分的几何意义 46

3.2 求导数与微分的法则 47

3.2.1 四则运算法则 47

3.2.2 反函数的求导法则 48

3.2.3 基本初等函数的导数和微分公式 49

3.2.4 复合函数求导法则 49

3.2.5 隐函数求导与取对数求导方法 50

3.2.6 参数方程表示的函数的求导方法 51

3.2.7 高阶导数 52

3.3 微分中值定理与洛必达法则 54

3.3.1 函数的极值 54

3.3.2 微分中值定理 55

3.3.3 洛必达法则 58

3.4 导数的应用 60

3.4.1 函数的单调性 60

3.4.2 函数的极值 62

3.4.3 函数的最大值与最小值 64

3.4.4 优化问题 66

3.4.5 曲线的凹凸性与拐点 68

第4章 一元函数积分学 72

4.1 不定积分的概念与性质 72

4.1.1 原函数与不定积分 72

4.1.2 不定积分的性质 74

4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法 75

4.2.1 第一类换元积分法 75

4.2.2 第二类换元积分法 78

4.2.3 分部积分法 80

4.3 定积分的概念与性质 82

4.3.1 定积分的概念 82

4.3.2 定积分的性质 85

4.4 定积分的换元积分法与分部积分法 89

4.4.1 定积分的换元积分法 89

4.4.2 定积分的分部积分法 91

4.5 广义积分 93

4.5.1 无穷区间上函数的积分 93

4.5.2 无界函数的广义积分 95

4.6 定积分的应用 97

4.6.1 平面图形的面积 97

4.6.2 旋转体的体积 101

第5章 无穷级数 104

5.1 无穷级数的敛散性 104

5.1.1 级数的基本概念 104

5.1.2 级数的基本性质 106

5.1.3 级数收敛的必要条件 107

5.2 正项级数及其审敛法 108

5.2.1 基本定理 109

5.2.2 比较审敛法 109

5.2.3 比值审敛法 110

5.3 任意项级数 112

5.3.1 交错级数及其审敛法 112

5.3.2 绝对收敛与条件收敛 113

5.4 幂级数 115

5.4.1 函数项级数 115

5.4.2 幂级数及其收敛域 116

5.4.3 幂级数的性质与和函数 118

5.5 函数的幂级数展开 120

第6章 多元函数微积分 124

6.1 空间直角坐标系与曲面方程 124

6.1.1 空间直角坐标系 124

6.1.2 空间曲面 126

6.1.3 空间曲线 127

6.1.4 几种常见曲面及其方程 128

6.2 多元函数的基本概念 131

6.2.1 多元函数 131

6.2.2 多元函数的极限与连续性 132

6.3 偏导数与全微分 135

6.3.1 偏导数的定义及其求法 135

6.3.2 高阶偏导数 138

6.3.3 全微分 139

6.3.4 全微分在近似计算中的应用 141

6.3.5 多元复合函数的求导法则 141

6.4 多元函数的极值及其求法 144

6.4.1 无条件极值 144

6.4.2 条件极值与拉格朗日乘数法 146

6.5 二重积分 149

6.5.1 二重积分的概念 149

6.5.2 二重积分的定义 150

6.5.3 二重积分的几何意义 151

6.5.4 直角坐标系下二重积分的计算 153

6.5.5 极坐标系下二重积分的计算 158

第7章 微分方程 162

7.1 微分方程的概念 162

7.1.1 问题的提出 162

7.1.2 微分方程的概念 163

7.1.3 微分方程的解 163

7.1.4 初值问题 164

7.2 一阶微分方程 165

7.2.1 可变量分离方程 165

7.2.2 一阶线性微分方程 168

7.3 二阶常系数线性微分方程 172

7.3.1 二阶线性微分方程解的结构 172

7.3.2 二阶常系数线性微分方程 173

练习题答案 179

参考文献 192