高等数学中的若干问题解析 第2版PDF电子书下载

部分精彩问题 1

第1章 函数与数列的极限 4

1.1 有关函数的问题 4

1.2 关于数列{sin n}敛散性 7

1.3 数列前n项均值的极限 12

1.4 数列均值极限的推广 15

1.5 递推数列的极限 19

1.6 分式递推数列的极限 23

1.7 斐波那契数列及相关极限 29

1.8 递推数列的渐近性 35

1.9 数列极限lim n→∞ n√n=1的求法 40

1.10 一递推数列的几何解法及推广 43

1.11 由递推公式an+1=an+1/an衍生出来的数列的收敛性 46

第2章 导数与中值定理 50

2.1 微分中值定理的应用 50

2.2 几个导数不等式 55

2.3 不等式sin x+tan x>2x的推广 59

2.4 对数不等式的应用 62

2.5 凸函数不等式的应用 65

2.5.1 凸函数在微积分中的应用 66

2.5.2 凸函数在初等不等式证明中的应用 68

2.6 关于tan x和sec x的泰勒级数展开 71

2.7 高阶导数有界的几个结果 76

2.8 几个与e有关的数列不等式 80

2.9 数e4是无理数的证明 85

2.10 计算e的近似值到小数点后的10000位 90

第3章 导数的应用 94

3.1 光滑凸函数的一个极值问题 94

3.2 抛物线中细棒中点的最低位置 95

3.3 最大视角问题及推广 98

3.3.1 最大视角的几何解法 100

3.3.2 最大视角在日常生活中的应用 101

3.3.3 圆周上的最大视角问题 101

3.3.4 圆周上最大视角的实际意义（a>0） 104

3.3.5 圆周上最大视角的几何解释 104

3.4 圆内接三角形定周长的面积最大值 105

3.5 椭圆内接三角形底边平行移动的最大面积问题 107

3.6 椭圆内接多边形的最大面积 111

3.7 过河问题的再讨论 114

3.7.1 传统河边洗手的问题 115

3.7.2 过河问题的演变 115

3.7.3 过河问题的推广 115

3.8 代数方程xn+knx=1正根的渐近性 117

3.9 折纸问题中一个折痕最小值问题 122

3.10 综合题 125

第4章 不定积分、定积分 129

4.1 反函数的不定积分 129

4.2 典型定积分的计算方法 130

4.2.1 利用几何图形计算 130

4.2.2 巧用分部积分 131

4.2.3 利用公式进行递推计算 132

4.2.4 根据函数的符号来分区间计算 132

4.2.5 利用函数的特性作变量代换 133

4.2.6 几种方式综合起来进行计算 133

4.2.7 经典的方法 134

4.2.8 利用幂级数的和 134

4.2.9 利用三角级数的和 135

4.2.10 利用自变量变化时函数的递推公式 136

4.2.11 化为已知的积分结果 137

4.2.12 较强的计算功底 138

4.3 几个常见的积分不等式 138

4.3.1 流行不等式 138

4.3.2 切比雪夫不等式 140

4.3.3 康托洛维奇（Kantorovich）不等式 141

4.3.4 由微分中值定理导出的积分不等式 142

4.3.5 积分不等式杂例 146

4.4 积分中值定理中间值的渐近性 147

4.5 一个积分列的极限 148

4.6 Wallis公式的收敛速度 152

4.7 斯特林公式的证明及应用 157

4.8 圆周率π是无理数的证明 160

4.9 圆周率π的计算 163

4.10 单调增加函数幂次积分序列∫1 0fn（x）dx=1/n+1的一个猜想 167

4.11 被积函数的零点 170

4.12 积分中核函数的应用 172

4.13 函数广义矩唯一性问题 175

4.14 一道积分竞赛题 177

4.15 黎曼引理的证明 180

4.16 求定积分∫∞ 0 sin x/x dx 183

第5章 定积分的应用 189

5.1 两个抛物线之间的定面积问题 189

5.2 直线与圆锥曲线围成定面积其弦上定比例点的轨迹 194

5.3 凸函数积分的极小值问题Ⅰ 197

5.4 凸函数积分的极小值问题Ⅱ 199

5.5 考研试题中一面积最小值问题的推广 204

5.6 绕直线旋转的旋转体的体积计算 208

5.7 斜锥的体积 210

5.8 锥体的体积的一个性质 213

5.9 单调函数满足lim x→∞ 1/x∫（t）dt=a的充要条件 215

5.10 积分号下求最值的例子 217

第6章 级数的收敛与应用 220

6.1 幂级数在递推数列中的应用 220

6.2 与e相关的级数展开 224

6.3 关于p级数的讨论 226

6.4 关于级数∞∑n=1 arctan 1/n2+n+1的和 229

6.5 Sin x无穷乘积展开的初等证明 232

6.6 傅里叶级数收敛定理及应用 235

6.7 Γ（x）与B（p,q）函数的关系公式 238

6.8 p项保号调和级数的求和 240

6.9 关于级数的收敛的问题 243

6.10 收敛保持函数 248

6.11 黎曼级数的和ζ（2k）=∞∑n=1 1/n2k的一个递推公式 249

6.12 利用二进制展开的例子 252

6.13 求级数的和的方法举例 255

第7章 与多项式函数相关的几个问题 259

7.1 贝尔（Baire）纲定理的应用 259

7.2 多项式函数的一个等价条件 260

7.3 关于每个变量为多项式的函数f（x,y）就是一个二元的多项式函数 262

7.4 多项式函数列收敛于多项式函数的条件 263

7.5 圆上点的多项式逼近 264

7.6 多项式函数与其导函数的几个性质 265

7.7 取整函数［x］及最近整数距离函数‖x‖的应用 269

第8章 其他综合问题 272

8.1 多元函数的最值问题 272

8.2 辅助函数 277

8.3 一个追击问题 281

8.4 旋轮线及最速下降速度 282

8.5 线性函数相关命题的证明 284

8.6 康托尔集和康托尔函数的简单性质 289

8.7 向量积公式的简单证明 291

8.8 与e相关的综合极限问题 292

8.9 等周不等式的微积分证明 295

8.10 圆锥曲线方程的解析几何推导 298

参考文献 303

索引 305