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第七章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、平面点集与n维空间 1

二、多元函数的概念 3

三、多元函数的极限 5

四、多元函数的连续性 7

习题7-1 9

第二节 偏导数 9

一、偏导数的定义及其计算 10

二、高阶偏导数 12

习题7-2 14

第三节 全微分 15

一、全微分的概念 15

二、可微分、可偏导和连续的关系 16

三、全微分在近似计算中的应用 19

习题7-3 20

第四节 多元复合函数的求导法则 20

一、多元复合函数的链式求导法则 21

二、一阶全微分形式不变性 26

习题7-4 27

第五节 隐函数的求导公式 28

一、一个方程的情形 28

二、方程组的情形 31

习题7-5 34

第六节 多元函数微分学的几何应用 35

一、空间曲线的切线与法平面 35

二、曲面的切平面与法线 38

习题7-6 41

第七节 方向导数和梯度 42

一、方向导数 42

二、梯度 46

习题7-7 49

第八节 多元函数的极值及其求法 50

一、多元函数的极值及最值 51

二、条件极值与拉格朗日乘数法 54

习题7-8 57

总习题七 58

第八章 重积分 61

第一节 二重积分的概念与性质 61

一、二重积分的概念 61

二、二重积分的性质 63

习题8-1 66

第二节 二重积分的计算法 67

一、利用直角坐标计算二重积分 67

二、利用极坐标计算二重积分 71

三、二重积分的换元法 74

习题8-2 78

第三节 三重积分 80

一、三重积分的概念 80

二、三重积分的计算法 81

习题8-3 87

第四节 重积分的应用 89

一、曲面的面积 89

二、质心 91

三、转动惯量 92

四、引力 94

习题8-4 95

第五节 含参变量的积分 95

习题8-5 99

总习题八 100

第九章 曲线积分与曲面积分 102

第一节 弧长的曲线积分 102

一、弧长曲线积分的概念与性质 102

二、对弧长曲线积分的计算法 103

习题9-1 107

第二节 对坐标的曲线积分 108

一、对坐标曲线积分的概念 108

二、对坐标曲线积分的计算法 110

三、两类曲线积分之间的联系 113

习题9-2 115

第三节 格林公式及其应用 116

一、格林公式 116

二、平面曲线积分与路径无关的条件 121

习题9-3 128

第四节 对面积的曲面积分 129

一、对面积的曲面积分的概念 129

二、对面积曲面积分的计算法 130

习题9-4 132

第五节 对坐标的曲面积分 133

一、对坐标曲面积分的概念及性质 133

二、对坐标曲面积分的计算法 136

三、两类曲面积分的联系 139

习题9-5 140

第六节 高斯公式、通量与散度 141

一、高斯公式 141

二、通量与散度 147

习题9-6 148

第七节 斯托克斯公式、环流量与旋度 150

一、斯托克斯公式 150

二、空间曲线积分与路径无关的条件 153

三、环流量与旋度 156

四、算子？ 157

习题9-7 157

总习题九 158

第十章 无穷级数 160

第一节 常数项级数的概念与性质 160

一、常数项级数的概念 160

二、收敛级数的基本性质 161

习题10-1 164

第二节 常数项级数的审敛法 165

一、正项级数及其审敛法 165

二、任意项级数及其审敛法 171

三、绝对收敛与条件收敛 174

习题10-2 177

第三节 幂级数 178

一、函数项级数 178

二、幂级数的收敛半径及收敛域 179

三、幂级数的运算 183

习题10-3 188

第四节 函数的幂级数展开 189

一、泰勒级数 189

二、泰勒级数的应用 195

习题10-4 197

第五节 傅里叶级数 198

一、三角级数及三角函数系的正交性 198

二、函数展开成傅里叶级数 200

三、正弦级数和余弦级数 207

习题10-5 210

总习题十 211

第十一章Mathematica软件介绍 213

第一节Mathematica的基本操作及语法初步 213

第二节Mathematica中的数、运算符、变量和函数 216

一、数与运算符 216

二、变量 217

三、函数 218

第三节Mathematica中的微积分 222

一、求极限 222

二、求导数或偏导数、全微分 223

三、求积分及重积分 224

四、无穷级数 226

五、常微分方程 227

第四节 图形 228

一、二维图形 228

二、三维图形 233

总习题十一 243

部分习题答案与提示 244

习题7-1 244

习题7-2 244

习题7-3 245

习题7-4 245

习题7-5 246

习题7-6 247

习题7-7 248

习题7-8 248

总习题七 249

习题8-1 249

习题8-2 249

习题8-3 250

习题8-4 251

习题8-5 251

总习题八 252

习题9-1 253

习题9-2 253

习题9-3 254

习题9-4 254

习题9-5 254

习题9-6 255

习题9-7 255

总习题九 255

习题10-1 256

习题10-2 256

习题10-3 257

习题10-4 257

习题10-5 258

总习题十 259