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第1章 函数与极限 1

1.1集合与函数 1

1.1.1集合及其运算 1

1.1.2函数概念 1

1.1.3函数的运算 3

1.1.4函数的例子 4

1.1.5函数的几种特性 8

习题 1.1 10

1.2数列的极限 11

1.2.1数列的极限 11

1.2.2数列极限定义的进一步说明 12

习题1.2 14

1.3收敛数列的性质及判别收敛的准则 14

1.3.1收敛数列的性质 14

1.3.2判别数列收敛的准则 15

习题1.3 17

1.4函数的极限 17

1.4.1函数极限的定义 18

1.4.2函数极限的性质 19

习题1.4 21

1.5函数的连续性 22

1.5.1函数连续性的定义 22

1.5.2连续函数 23

1.5.3闭区间上连续函数的性质 23

习题1.5 24

1.6无穷小与无穷大 25

1.6.1无穷小与无穷大的定义 25

1.6.2无穷小与无穷大的性质 26

1.6.3无穷小的比较 26

习题1.6 27

实验一 函数与极限 27

实验作业 34

第2章 导数与微分 35

2.1导数的概念 35

2.1.1引例 35

2.1.2导数的定义 37

2.1.3求导数举例 39

2.1.4导数的几何意义 40

2.1.5导数与连续的关系 42

习题2.1 43

2.2求导法则 44

2.2.1导数的四则运算法则 44

2.2.2复合函数的求导法则 47

2.2.3反函数的导数 48

2.2.4初等函数的导数与导数公式表 50

2.2.5高阶导数 52

习题2.2 55

2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 57

2.3.1隐函数的导数 57

2.3.2由参数方程所确定的函数的导数 59

2.3.3对数求导法 61

习题2.3 62

2.4微分及其应用 63

2.4.1微分的定义 63

2.4.2微分的几何意义 65

2.4.3微分的运算法则与基本公式 65

2.4.4微分在近似计算中的应用 67

2.4.5高阶微分与函数的差分 70

习题2.4 73

2.5变化率及相关变化率问题 74

2.5.1自然科学和社会科学中的变化率问题 74

2.5.2相关变化率 78

习题2.5 80

实验二 导数与微分 82

实验作业 92

第3章 中值定理与导数的应用 93

3.1微分中值定理 93

3.1.1函数极值与费马（Fermat）引理 93

3.1.2洛尔（Rolle）定理 95

3.1.3拉格朗日（Lagrange）中值定理 97

习题3.1 100

3.2洛必达（L’Hospital）法则 101

3.2.1待定型极限和L’ Hospital法则 101

3.2.2可转化为“0/0”型或“∞/∞”型的极限 104

习题3.2 107

3.3泰勒（Taylor）公式及其应用 108

3.3.1函数在x=0处的Taylor公式 108

3.3.2 Taylor公式的应用 112

习题3.3 115

3.4应用举例 116

3.4.1函数的单调性和曲线的凹凸性 116

3.4.2极值问题 120

3.4.3最值问题 122

3.4.4数学建模 122

3.4.5函数作图 125

习题3.4 127

实验三 导数与函数的单调性及Taylor展开 127

实验作业 131

第4章 不定积分 133

4.1不定积分 133

4.1.1原函数与不定积分 133

4.1.2不定积分的几何意义 135

4.1.3基本积分公式表 135

4.1.4不定积分的性质 136

习题4.1 139

4.2基本积分法 139

4.2.1第一换元法 139

4.2.2第二换元法 143

4.2.3分部积分法 147

习题4.2 149

4.3积分表的使用 150

习题4.3 152

实验四 不定积分 153

实验作业 156

第5章 定积分及其应用 157

5.1定积分的概念 157

5.1.1实例 157

5.1.2定积分的定义 158

习题5.1 161

5.2定积分的性质 161

习题5.2 164

5.3定积分的计算 164

5.3.1积分上限函数 165

5.3.2牛顿-莱布尼茨公式 165

5.3.3定积分的换元积分法 167

5.3.4定积分的分部积分法 169

习题5.3 170

5.4广义积分与Γ-函数 171

5.4.1无穷限的广义积分 171

5.4.2无界函数的广义积分 173

5.4.3 1-函数 175

习题5.4 176

5.5定积分的应用 176

5.5.1微元法 176

5.5.2平面图形的面积 177

5.5.3旋转体的体积 179

5.5.4平面截面面积已知的立体体积 180

5.5.5平面曲线的弧长 181

5.5.6变力做功 182

习题5.5 184

实验五 定积分的计算 185

实验作业 192

参考文献 193

附录 194