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第1章 函数 1

1.1 函数的概念和性质 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的表示法 2

1.1.3 反函数 3

1.1.4 函数的四种特性 3

习题1.1 5

1.2 初等函数 6

1.2.1 分段函数 6

1.2.2 隐函数 6

1.2.3 基本初等函数 6

1.2.4 复合函数 11

1.2.5 初等函数 12

习题1.2 12

1.3 函数模型的建立 12

习题1.3 15

本章小结 15

复习题1 16

第2章 极限与连续 18

2.1 极限的概念 18

2.1.1 数列的极限 18

2.1.2 函数的极限 19

习题2.1 24

2.2 无穷小量与无穷大量 25

2.2.1 无穷小量 25

2.2.2 无穷大量 28

2.2.3 无穷小量与无穷大量的关系 28

习题2.2 29

2.3 极限的性质与运算法则 29

2.3.1 极限的性质 29

2.3.2 极限的运算法则 29

习题2.3 32

2.4 两个重要极限 33

2.4.1 第一个重要极限lim x→0 sin x/x=1 33

2.4.2 第二个重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e 35

习题2.4 37

2.5 函数的连续性 38

2.5.1 函数连续的概念 38

2.5.2 初等函数的连续性 40

2.5.3 闭区间上连续函数的性质 41

习题2.5 42

本章小结 43

复习题2 46

第3章 导数与微分 48

3.1 导数的概念 48

3.1.1 导数概念的引例 48

3.1.2 导数的定义 49

3.1.3 导数的几何意义 52

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系 52

习题3.1 53

3.2 函数的求导法则 53

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 53

3.2.2 反函数的求导法则 56

3.2.3 复合函数的求导法则 57

3.2.4 隐函数的导数 59

3.2.5 对数求导法 60

3.2.6 参数方程的求导法 61

3.2.7 导数公式与求导法则 62

习题3.2 64

3.3 高阶导数 65

习题3.3 66

3.4 函数的微分 66

3.4.1 微分的定义 66

3.4.2 微分的几何意义 67

3.4.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 68

3.4.4 微分在近似计算中的应用 70

习题3.4 71

本章小结 71

复习题3 73

第4章 导数的应用 75

4.1 中值定理和函数的单调性 75

4.1.1 拉格朗日中值定理 75

4.1.2 一个重要的特殊情况 76

4.1.3 函数单调性的判别 76

习题4.1 78

4.2 函数的极值和最值 79

4.2.1 极值的定义 79

4.2.2 极值的判定 80

4.2.3 闭区间上连续函数的最值 81

4.2.4 实际问题的最值 82

习题4.2 83

4.3 曲线的凹凸与拐点 84

4.3.1 曲线的凹凸及其判别法 84

4.3.2 曲线的拐点及其求法 85

习题4.3 86

4.4 函数图像的描绘 86

4.4.1 渐近线 86

4.4.2 作函数图像的一般步骤 87

4.4.3 作函数图像举例 88

习题4.4 89

4.5 洛必达法则 89

习题4.5 93

4.6 导数在经济分析中的应用 93

4.6.1 边际分析 93

4.6.2 弹性分析 97

习题4.6 99

本章小结 100

复习题4 101

第5章 不定积分 103

5.1 不定积分的概念与性质 103

5.1.1 原函数与不定积分 103

5.1.2 不定积分的性质和基本积分公式 106

习题5.1 108

5.2 不定积分的积分方法 109

5.2.1 换元积分法 109

5.2.2 分部积分法 115

习题5.2 118

本章小结 119

复习题5 121

第6章 定积分及其应用 123

6.1 定积分的概念与性质 123

6.1.1 两个实际问题 123

6.1.2 定积分的概念 125

6.1.3 定积分的几何意义 126

6.1.4 定积分的性质 127

习题6.1 129

6.2 微积分基本公式 130

6.2.1 变上限的定积分 130

6.2.2 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 132

习题6.2 134

6.3 定积分的积分方法 135

6.3.1 定积分的换元积分法 135

6.3.2 定积分的分部积分方法 138

习题6.3 139

6.4 无穷区间上的广义积分 140

习题6.4 142

6.5 定积分的应用 142

6.5.1 定积分应用的微元法 142

6.5.2 平面图形的面积 143

6.5.3 定积分在经济上的应用 146

习题6.5 149

本章小结 150

复习题6 152

第7章 常微分方程 154

7.1 常微分方程的基本概念 154

习题7.1 156

7.2 可分离变量的常微分方程 156

7.2.1 可分离变量的微分方程 156

7.2.2 变量分离法 156

习题7.2 158

7.3 一阶线性微分方程 158

7.3.1 一阶线性微分方程的定义 158

7.3.2 一阶线性微分方程的求解方法 158

习题7.3 160

7.4 二阶常系数齐次线性微分方程 161

7.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程解的性质 161

7.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 161

习题7.4 162

7.5 二阶常系数非齐次线性微分方程 162

7.5.1 二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质 163

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 163

习题7.5 165

7.6 微分方程应用举例 165

习题7.6 168

本章小结 168

复习题7 169

第8章 空间解析几何与向量代数 171

8.1 空间直角坐标系与向量的概念 171

8.1.1 空间直角坐标 171

8.1.2 向量的概念 173

8.1.3 向量的线性运算 174

习题8.1 176

8.2 向量的坐标表示 176

8.2.1 向径的坐标表示 176

8.2.2 向量的坐标表示 177

8.2.3 向量线性运算的坐标表示 177

8.2.4 向量的模和方向余弦 178

习题8.2 180

8.3 向量的数量积与向量积 180

8.3.1 两向量的数量积 180

8.3.2 两向量的向量积 182

习题8.3 184

8.4 空间中平面与直线 185

8.4.1 平面及其方程 185

8.4.2 空间直线及其方程 189

习题8.4 191

8.5 空间中曲面与曲线 192

8.5.1 曲面方程的概念 192

8.5.2 柱面 193

8.5.3 旋转曲面 195

8.5.4 二次曲面 196

8.5.5 空间曲线及其在坐标面上的投影 197

习题8.5 199

本章小结 199

复习题8 199

第9章 多元函数的微分学 201

9.1 多元函数的极限和连续性 201

9.1.1 多元函数概念 201

9.1.2 二元函数的极限与连续 203

习题9.1 205

9.2 偏导数 206

9.2.1 偏导数 206

9.2.2 高阶偏导数 208

习题9.2 209

9.3 全微分 209

9.3.1 全微分的定义 209

9.3.2 全微分在近似计算中的应用 211

习题9.3 212

9.4 多元复合函数与隐函数的微分法 212

9.4.1 多元复合函数的微分 212

9.4.2 隐函数的微分法 215

习题9.4 216

9.5 多元函数的极值 216

9.5.1 二元函数的极值 216

9.5.2 二元函数的最大值与最小值 218

9.5.3 条件极值 219

习题9.5 221

本章小结 221

复习题9 223

第10章 多元函数的积分学 224

10.1 二重积分的概念和性质 224

10.1.1 二重积分的概念 224

10.1.2 二重积分的定义 225

10.1.3 二重积分的性质 226

习题10.1 228

10.2 在直角坐标系下二重积分的计算 228

习题10.2 235

10.3 在极坐标系下二重积分的计算 235

习题10.3 239

10.4 二重积分的应用 240

10.4.1 求空间立体的体积 240

10.4.2 求平面薄片的质量、重心与转动惯量 241

习题10.4 243

本章小结 243

复习题10 244

第11章 无穷级数 246

11.1 常数项级数的概念及基本性质 246

11.1.1 基本概念 246

11.1.2 无穷级数的基本性质 249

习题11.1 252

11.2 正项级数 254

习题11.2 260

11.3 绝对收敛与条件收敛 261

11.3.1 交错级数及其判别法 261

11.3.2 绝对收敛与条件收敛 262

习题11.3 264

11.4 幂级数 266

11.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域 267

11.4.2 幂级数的运算 271

习题11.4 273

11.5 函数展开成幂级数 274

11.5.1 泰勒级数 275

11.5.2 间接展开法 277

习题11.5 278

本章小结 279

复习题11 282

第12章 数学软件 284

12.1 Mathematica简介 284

12.1.1 引言 284

12.1.2 一般介绍 284

习题12.1 288

12.2 函数作图 288

12.2.1 一元函数的图形 288

12.2.2 二元函数的图形 291

习题12.2 292

12.3 一元函数微积分的计算 292

12.3.1 求极限 292

12.3.2 求导数 293

12.3.3 求不定积分和定积分 294

12.3.4 求微分方程的通解和特解 294

习题12.3 295

12.4 二元函数微积分的计算 296

12.4.1 求偏导数和全微分 296

12.4.2 求二元函数的极值 297

12.4.3 求重积分 297

12.4.4 无穷级数 298

习题12.4 299

本章小结 299

复习题12 300

习题参考答案 302

参考文献 326