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第一章 分析引论 1

1 实数 1

内容提要 4

问题与解答（1.1.1—1.1.20） 4

2 不等式 11

内容提要 11

问题与解答（1.2.1—1.2.15） 11

3 数列极限 20

内容提要 22

问题与解答（1.3.1—1.3.123） 22

1．数列极限的定义（1.3.1.—1.3.25） 22

2．柯西准则（1.3.26—1.3.33） 34

3．夹逼定理（1.3.34—1.3.48） 38

4．单调有界数列的极限（1.3.49—1.3.75） 45

5．施笃兹定理和托普利兹定理（1.3.76—1.3.85） 60

6．综合问题（1.3.86—1.3.123） 66

第二章 函数与极限 91

1 函数及其图象 91

内容提要 93

问题与解答（2.1.1—2.1.109） 93

1．求函数的定义域、值域（2.1.1—2.1.19） 93

2．求函数值、建立函数关系式（2.1.20—2.1.32） 97

3．函数的运算（四则运算、复合、求反函数）（2.1.33—2.1.48） 101

4．判断单调性（2.1.49—2.1.52） 108

5．判断有界性（2.1.53—2.1.56） 110

6．判断周期性（2.1.57—2.1.67） 111

7．判断奇偶性（2.1.68—2.1.73） 115

8．函数作图（2.1.74—2.1.92） 117

9．有界变差函数、凸函数（2.1.93—2.1.98） 130

10．综合问题（2.1.99—2.1.109） 133

2 函数的极限 137

内容提要 139

问题与解答（2.2.1—2.2.139） 139

1．用定义证极限（2.2.1—2.2.6） 139

2．极限的计算（2.2.7—2.2.113） 143

（1）求左、右、上、下极限（2.2.7—2.2.10） 143

（2）有理式的极限（2.2.11—2.2.18） 144

（3）无理式的极限（2.2.19—2.2.38） 147

（4）幂指函数的极限（2.2.39—2.2.59） 155

（5）三角函数有理式或无理式的极限（2.2.60—2.2.91） 163

（6）含有指数函数、对指函数的极限（2.2.92—2.2.110） 178

（7）极限方程（2.2.111—2.2.113） 183

3．综合问题（2.2.114—2.2.139） 185

3 函数的连续性 199

内容提要 201

问题与解答（2.3.1—2.3.106） 201

1．证明连续（2.3.1—2.3.6） 201

2．求间断点（2.3.7—2.3.18） 204

3．讨论连续性（2.3.19—2.3.49） 210

4．连续函数的性质（2.3.50—2.3.64） 224

5．判断方程的根（2.3.65—2.3.68） 230

6．利用连续性求极限（2.3.69—2.3.74） 231

7．一致连续（2.3.75—2.3.95） 234

8．综合问题（2.3.96—2.3.106） 243

第三章 一元函数微分学 249

1 导数与微分 249

内容提要 253

问题与解答（3.1.1—3.1.237） 253

1．基本概念（3.1.1.—3.1.25） 253

2．显函数的导数（3.1.26—3.1.137） 259

（1）定义求导法（3.1.26—3.1.48） 259

（2）函数和、差、积、商的导数（3.1.49—3.1.52） 269

（3）复合函数的导数（3.1.53—3.1.66） 270

（4）反函数的导数（3.1.67—3.1.73） 275

（5）对数求导法（3.1.74—3.1.80） 278

（6）幂指函数的导数（3.1.81—3.1.89） 280

（7）分段函数的导数（3.1.90—3.1.108） 283

（8）含绝对值符号的函数的导数（3.1.109—3.1.120） 296

（9）极限函数的导数（3.1.121—3.1.127） 300

（10）抽象函数的导数（3.1.128—3.1.137） 304

3．隐函数的导数（3.1.138—3.1.150） 306

4．用参数方程所确定的函数的导数（3.1.151—3.1.162） 311

5．高阶导数（3.1.163—3.1.219） 316

6．一阶和高阶微分（3.1.220—3.1.237） 343

2 中值定理 348

内容提要 350

问题与解答（3.2.1—3.2.72） 350

1．基本概念（3.2.1—3.2.10） 350

2．罗尔、拉格朗日、柯西定理（3.2.11—3.2.59） 353

3．函数的泰勒展开（3.2.60—3.2.72） 379

3 洛比达法则 386

内容提要 387

问题与解答（3.3.1—3.3.40） 387

1．0/0型不定式求值（3.3.1—3.3.11） 387

2．∞/∞型不定式求值（3.3.12—3.3.17） 391

3．其它类型的不定式求值（3.3.18—3.3.40） 393

4 函数研究 402

内容提要 405

问题与解答（3.4.1—3.4.149） 405

1．基本概念（3.4.1—3.4.17） 405

2．函数的单调性（3.4.18—3.4.36） 411

3．函数的极值和最值（3.4.37—3.4.104） 418

（1）极值的求法（3.4.37—3.4.59） 418

（2）最大值与最小值的求法（3.4.60—3.4.71） 427

（3）几何方面的极值问题（3.4.72—3.4.88） 433

（4）物理方面的极值问题（3.4.89—3.4.104） 451

4．曲线的凹凸性与拐点（3.4.105—3.4.127） 465

5．渐近线（3.4.128—3.4.132） 475

6．曲率（3.4.133—3.4.139） 477

7．函数的作图（3.4.140—3.4.149） 481

5 导数的应用 493

问题与解答（3.5.1—3.5.200） 493

1．曲线的切线和法线（3.5.1—3.5.34） 493

2．物理应用（3.5.35—3.5.50） 508

3．函数的零点及方程的根（3.5.51—3.5.88） 517

4．有关函数及导数的等式（3.5.89—3.5.109） 535

5．不等式的证明（3.5.110—3.5.157） 548

（1）用中值定理证明不等式（3.5.110—3.5.136） 548

（2）用单调性证明不等式（3.5.137—3.5.157） 565

6．近似计算及误差估计（3.5.158—3.5.178） 574

7．综合问题（3.5.1 79—3.5.200） 583

第四章 不定积分 594

1 不定积分的概念、基本公式及换元积分法 594

内容提要 596

问题与解答（4.1.1—4.1.145） 596

1．基本概念（4.1.1—4.1.16） 596

2．用基本公式求积分（4.1.17—4.1.34） 603

3．第一类换元法（4.1.35—4.1.111） 606

4．第二类换元法（4.1.112—4.1.129） 626

5．用倒代换x=1/t求积分（4.1.1 30—4.1.140） 636

6．不定积分的应用（4.1.141—4.1.145） 640

2 分部积分法 642

内容提要 642

问题与解答（4.2.1—4.2.87） 642

3 有理函数的积分 672

内容提要 673

问题与解答（4.3.1—4.3.75） 673

1．观察法（4.3.1—4.3.7） 673

2．配项法（4.3.8—4.3.47） 676

3．待定系数法（4.3.48—4.3.68） 692

4．奥斯特洛格拉特斯基方法（4.3.69—4.3.71） 705

5．综合问题（4.3.72—4.3.76） 710

4 简单无理函数的积分法 715

内容提要 716

问题与解答（4.4.1—4.4.63） 716

1．形如∫R［r,(ax+b)tn1/n1,(ax+b)tn2/n2,…］dx的积分（4.4.1—4.4.14） 716

2．形如∫dx/？、∫Ax+B/？dx∫dx/？、∫Pa(x)/？dx的积分（4.4.15—4.4.47） 724

3．微分二项式∫xm（a+bxn）pdx的积分（4.4.48—4.4.57） 741

4．其它形式的无理函数的积分（4.4.58—4.4.63） 745

5 三角函数有理式的积分 752

内容提要 753

问题与解答（4.5.1—4.5.72） 753

1．形如∫R（sinx,cosx）dx的积分（4.5.1—4.5.9） 753

2．形如∫sinmxcosnxdx的积分（4.5.10—4.5.25） 758

3．形如∫tgmxdx和∫ctgmxdx的积分（4.5.26—4.5.29） 763

4．形如∫tgmxsecnxdx和∫ctgmxcscnxdx的积分（4.5.30—4.5.52） 764

5．形如∫sec2n+1xdx和∫CSC2n+1xdx的积分（4.5.53—4.5.58） 773

6．形如∫sinmx cosnxdx，∫sinmx sinnxdx的积分（4.5.59—4.5.72） 775

6 综合问题 780

问题与解答（4.6.1—4.6.29） 780

第五章 定积分 791

1 定积分的概念 791

内容提要 793

问题与解答（5.1.1—5.1.26） 793

1．定积分的基本概念（5.1.1.—5.1.9） 793

2．用定义求积分（5.1.100—5.1.21） 796

3．用定积分求极限（5.1.22—5.1.26） 805

2 定积分的性质 809

内容提要 810

问题与解答（5.2.1—5.2.48） 810

3 定积分的计算 835

内容提要 836

问题与解答（5.3.1—5.3.91） 836

1．基本概念（5.3.1—5.3.10） 836

2．变上限的定积分（5.3.11—5.3.19） 839

3．牛顿—莱布尼兹公式（5.3.20—5.3.43） 843

4．定积分的换元法（5.3.44—5.3.75） 852

5．定积分的分部积分法（5.3.76—5.3.91） 871

4 广义积分 880

内容提要 882

问题与解答（5.4.1—5.4.46） 882

1．积分区间为无穷区间（5.4.1—5.4.15） 882

2．被积函数有无穷间断点（5.4.16—5.4.28） 887

3．综合问题（5.4.29—5.4.46） 893

5 定积分的近似计算 902

内容提要 903

问题与解答（5.5.1—5.5.12） 903

1．矩形公式（5.5.1—5.5.2） 903

2．梯形公式（5.5.3—5.5.4） 904

3．辛卜生公式（5.5.5—5.5.12） 906

6 定积分的应用 913

内容提要 915

问题与解答（5.6.1—5.6.45） 915

1．求平面图形的面积（5.6.1—5.6.9） 915

2．求曲线的弧长（5.6.10—5.6.17） 922

3．求立体的体积与表面积（5.6.18—5.6.33） 927

4．定积分在物理学中的应用（5.6.34—5.6.45） 936

7 综合问题 943

问题与解答（5.7.1—5.7.51） 943

第六章 空间解析几何 972

1 空间直角坐标系 972

内容提要 972

问题与解答（6.1.1—6.1.10） 972

2 矢量代数 976

内容提要 977

问题与解答（6.2.1—6.2.71） 977

1．矢量的加减法（6.2.1—6.2.29） 977

2．数量积（6.2.30—6.2.47） 989

3．矢量积（6.2.48—6.2.59） 996

4．混合积（6.2.60—6.2.71） 1000

3 平面 1006

内容提要 1007

问题与解答（6.3.1—6.3.39） 1007

4 空间直线 1026

内容提要 1027

问题与解答（6.4.1—6.4.45） 1027

1．空间直线的基本概念（6.4.1—6.4.13） 1027

2．直线、平面及两直线间的关系（6.4.14—6.4.39） 1033

3．综合问题（6.4.40—6.4.45） 1051

5 曲面与空间曲线 1055

内容提要 1056

问题与解答（6.5.1—6.5.40） 1056

1．曲面（6.5.1—6.5.38） 1056

（1）球面（6.5.1—6.5.13） 1056

（2）柱面（6.5.14—6.5.24） 1061

（3）锥面（6.5.25—6.5.31） 1067

（4）旋转曲面（6.5.32—6.5.38） 1071

2．空间曲线（6.5.39—6.5.40） 1077

第七章 多元函数微分学 1079

1 多元函数的基本概念 1079

内容提要 1080

问题与解答（7.1.1—7.1.32） 1080

1．多元函数的定义域（7.1.1—7.1.14） 1080

2．求函数的值（7.1.15—7.1.18） 1085

3．多元函数的极限（7.1.19—7.1.26） 1087

4．多元函数的连续性（7.1.27—7.1.32） 1091

2 多元函数的微分法 1096

内容提要 1101

问题与解答（7.2.1—7.2.211） 1101

1．一阶偏导数（7.2.1.—7.2.21） 1101

2．高阶偏导数（7.2.22—7.2.29） 1113

3．全微分（7.2.30—7.2.38） 1116

4．复合函数微公法（7.2.39—7.2.71） 1122

5．隐函数及其微分法（7.2.72—7.2.137） 1139

（1）一个方程的情形（7.2.72—7.2.117） 1139

（2）方程组的情形（7.2.118—7.2.137） 1166

6．变量代换（7.2.138—7.2.172） 1180

7．方向导数与梯度（7.2.173—7.2.194） 1199

8．综合问题（7.2.195—7.2.211） 1210

3 多元函数微分学的几何应用 1221

内容提要 1223

问题与解答（7.3.1—7.3.39） 1223

1．空间曲线的切线与法平面（7.3.1—7.3.15） 1223

2．空间曲面的切平面与法线（7.3.16—7.3.39） 1231

4 二元函数的泰勒公式 1245

内容提要 1246

问题与解答（7.4.1—7.4.11） 1246

5 多元函数的极值 1253

内容提要 1254

问题与解答（7.5.1—7.5.60） 1254

1．多元函数的极值（7.5.1—7.5.14） 1254

2．多元函数的条件极值（7.5.15—7.5.25） 1265

3．最大值和最小值（7.5.26—7.5.60） 1273

第八章 重积分 1302

1 二重积分 1302

内容提要 1305

问题与解答（8.1.1—8.1.62） 1305

1．二重积分的概念与性质（8.1.1—8.1.11） 1305

2．在直角坐标系中的二重积分的计算法（8.1.12—8.1.39） 1311

3．在极坐标系中二重积分的计算法（8.1.40—8.1.54） 1328

4．用曲线坐标计算二重积分（8.1.55—8.1.62） 1335

2 三重积分 1340

内容提要 1343

问题与解答（8.2.1—8.2.27） 1343

1．直角坐标系中三重积分的计算法（8.2.1—8.2.11） 1343

2．柱面及球面坐标系中三重积分的计算法（8.2.12—8.2.23） 1348

3．用曲线坐标计算三重积分（8.2.24—8.2.27） 1354

3 重积分的应用 1357

内容提要 1360

问题与解答（8.3.1—8.3.25） 1360

4 含参变量的积分 1377

内容提要 1379

问题与解答（8.4.1—8.4.15） 1379

第九章 曲线积分与曲面积分 1388

1 曲线积分 1388

内容提要 1392

问题与解答（9.1.1—9.1.143） 1392

1．对弧长的（第一型）曲线积分（9.1.1—9.1.21） 1392

（1）平面情形（9.1.1.—.9.1.14） 1392

（2）空间情形（9.1.15—9.1.21） 1397

2．对坐标的（第二型）曲线积分（9.1.22—9.1.53） 1403

（1）平面情形（9.1.22—9.1.41） 1403

（2）空间情形（9.1.42—9.1.52） 1397

3．格林公式与全微分求积（9.1.53—9.1.92） 1420

（1）格林公式（9.1.53—9.1.84） 1420

（2）全微分求积（9.1.85—9.1.92） 1438

4．平面曲线积分与路线无关的条件（9.1.93—9.1.109） 1444

5．曲线积分的应用（9.1.110—9.1.143） 1455

2 曲面积分 1472

内容提要 1476

问题与解答（9.2.1—9.2.95） 1476

1．对面积的（第一型）曲面积分（9.2.1—9.2.22） 1476

2．对坐标的（第二型）曲面积分（9.2.23—9.2.45） 1492

3．奥—高公式与斯托克斯公式（9.2.46—9.2.83） 1510

（1）奥—高公式（9.2.46—9.2.74） 1510

（2）斯托克斯公式（9.2.75—9.2.83） 1526

4．曲面积分的应用（9.2.84—9.2.95） 1535

3 场论初步 1545

内容提要 1549

问题与解答（9.3.1—9.3.45） 1549

1．梯度（9.3.1—9.3.16） 1549

2．通量（9.3.17—9.3.25） 1557

3．散度（9.3.26—9.3.32） 1563

4．环量（9.3.33—9.3.36） 1566

5．旋度（9.3.37—9.3.42） 1568

6．几个重要的场（9.43—9.3.45） 1571

第十章 级数 1575

1 常数项级数 1575

内容提要 1577

问题与解答（10.1.1—10.1.141） 1577

1．常数项级数的一般概念（10.1.1.—10.1.37） 1577

2．正项级数敛散性的判别法（10.1.38—10.1.111） 1601

（1）比较判别法（10.1.38—10.1.60） 1601

（2）比值判别法（10.1.61—10.1.66） 1615

（3）根值判别法（10.1.67—10.1.76） 1620

（4）积分判别法（10.1.77—10.1.79） 1627

（5）拉阿伯判别法（10.1.80—10.1.86） 1628

（6）综合问题（10.1.87—10.1.111） 1633

3．任意项级数敛散性的判别法（10.1.112—10.1.141） 1648

2 函数项级数与幂级数 1667

内容提要 1670

问题与解答（10.2.1—10.2.160） 1670

1．函数项级数的一般概念（10.2.1.—10.2.19） 1670

2．幂级数的收敛区间（10.2.20.—10.2.32） 1684

3．函数展开成幂级数及其应用（10.2.33.—10.2.115） 1694

（1）函数展开成幂级数（10.2.33.—10.2.68） 1694

（2）利用幂级数展开式求近似值（10.2.69.—10.2.89） 1717

（3）利用幂级数展开式求和（10.2.90.—10.2.115） 1728

4．一致收敛（10.2.116.—10.2.160） 1749

3 傅里叶级数 1772

内容提要 1773

问题与解答（10.3.1—10.3.72） 1773

1．傅里叶系数和傅里叶级数的收敛性（10.3.1—10.3.13） 1773

2．正弦级数和余弦级数（10.3.14—10.3.20） 1784

3．周期为2l的傅里叶级数（10.3.21—10.3.37） 1788

4．综合问题（10.3.38—10.3.72） 1801

第十一章 微分方程 1831

1 微分方程的基本概念 1831

内容提要 1831

问题与解答（11.1.1—11.1.6） 1831

2 一阶微分方程的几种可积类型 1834

内容提要 1837

问题与解答（11.2.1—11.2.149） 1837

1．变量可分离的微分方程（11.2.1—11.2.13） 1837

2．一阶线性微分方程（11.2.14—11.2.40） 1842

3．齐次微分方程（11.2.41—11.2.51） 1851

4．形如y′＝f（a1x+b1y+c1/ax2+b2y+c2）的微分方程（11.2.52—11.2.59） 1856

5．贝努利（Bernoulli）方程（11.2.60—11.2.72） 1859

6．全微分方程（11.2.73—11.2.84） 1865

7．用积分因子法求解的一阶微分方程（11.2.85—11.2.120） 1868

8．用变量置换法求解的一阶微分方程（11.2.121—11.2.149） 1884

3 未解出导数的一阶微分方程 1897

内容提要 1900

问题与解答（11.3.1—11.3.36） 1900

1．n次一阶方程（11.3.1—11.3.10） 1900

2．F(x,p)=0型的一阶微分方程（11.3.11—11.3.14） 1903

3．F(y,p)=0型的一阶微分方程（11.3.15—11.3.21） 1905

4．y=f（x,p）型的一阶微分方程（11.3.22—11.3.25） 1907

5．x=f（y,p）型的一阶微分方程（11.3.26—11.3.29） 1909

6．拉格朗日（Lageange）方程（11.3.30—11.3.32） 1911

7．克莱洛（Clarraut）方程（11.3.33—11.3.36） 1912

4 可降阶的高阶微分方程 1915

内容提要 1916

问题与解答（11.4.1—11.4.30） 1916

1．yn=f（x）型的高阶微分方程（11.4.1—11.4.5） 1916

2．不显含未知函数的高阶微分方程（11.4.6—11.4.17） 1917

3．不显含自变量的高阶微分方程（11.4.18—11.4.30） 1921

5 高阶线性微分方程解的结构 1928

内容提要 1929

问题与解答（11.5.1—11.5.8） 1929

6 高阶常系数线性微分方程 1935

内容提要 1938

问题与解答（11.6.1—11.6.66） 1938

1．高阶常系数线性齐次微分方程（11.6.1—11.6.24） 1938

2．高阶常系数线性非齐次微分方程（11.6.25—11.6.66） 1942

7 高阶变系数线性微分方程 1963

内容提要 1964

问题与解答（11.7.1—11.7.23） 1964

1．化为常系数线性微分方程（11.7.1—11.7.15） 1964

2．降阶法（11.7.16—11.7.20） 1969

3．常数变易法（11.7.21—11.7.23） 1970

8 微分方程的幂级数解法 1973

内容提要 1974

问题与解答（11.8.1—11.8.13） 1974

1．一阶微分方程（11.8.1—11.8.7） 1974

2．高阶线性齐次微分方程（11.8.8—11.8.13） 1980

9 线性微分方程 1986

内容提要 1988

问题与解答（11.9.1—11.9.33） 1988

1．消元法（11.9.1—11.9.16） 1988

2．算子法（11.9.17—11.9.19） 1999

3．可积组合法（11.9.20—11.9.26） 2001

4．待定系数法（11.9.27—11.9.33） 2005

10 微分方程的应用 2010

问题与解答（11.10.1—11.10.96） 2010

1．应用微分方程求未知函数（11.10.1—11.10.25） 2010

2．应用微分方程求曲线方程（11.10.26—11.10.50） 2022

3．微分方程在物理学中的应用（11.10.51—11.10.92） 2038

4．微分方程在化学中的应用（11.10.93—11.10.96） 2068

附录1 高等数学发展简史 2071

附录2 高等数学中的有关数学家简介 2092

1．笛卡尔 2092

2．牛顿 2094

3．莱布尼兹 2096

4．罗尔 2098

5．雅各·伯努利 2098

6．洛比达 2099

7．约翰·伯努利 2100

8．泰勒 2102

9．马克劳林 2103

10．辛普生 2104

11．欧拉 2105

12．达朗贝尔 2107

13．拉格朗日 2108

14．傅里叶 2109

15．高斯 2111

16．柯西 2112

17．格林 2113

18．奥斯特洛格拉得斯基 2114

19．阿贝尔 2115

20．狄利克雷 2117

21．维尔斯特拉斯 2119

22．斯托克斯 2120