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第0章 微分方程模型 1

0.1经济学中的微分方程 1

0.1.1多马增长模型 1

0.1.2微观动态市场模型 3

0.1.3具有价格预期的市场模型 4

0.1.4通货膨胀与失业相互作用模型 5

0.1.5国民经济增长模型 7

0.1.6广告模型 9

0.2人口与生态学中的微分方程 11

0.2.1人口模型——单一群体模型 11

0.2.2两种群相互作用模型 17

0.3军事科学中的微分方程 22

0.4日常生活中的微分方程 27

0.4.1减肥的数学模型 27

0.4.2汤冷却的数学模型 29

0.4.3宣传运动的效果 30

0.4.4跳伞运动员为什么能安全着地 32

0.5数学物理中的经典微分方程 33

0.5.1波动方程 33

0.5.2热传导方程 35

0.5.3拉普拉斯方程和泊松方程 36

0.6期权的布莱克-斯科尔斯方程 37

0.6.1股票与期权 37

0.6.2伊藤微分法则 38

0.6.3投资组合的无套利原则 39

0.6.4用偏微分方程分析期权定价理论 41

0.7交通流的数学模型 41

0.8最速降线问题与追线问题 44

0.8.1最速降线问题 44

0.8.2 追线问题 47

0.9医学科学中的微分方程 50

0.9.1传染病模型 50

0.9.2药物在体内的分布 54

第1章 常微分方程的基本概念 58

第2章 初等积分法 66

2.1可分离变量方程 66

2.1.1可分离变量方程及其解法 66

2.1.2 第一类可化成可分离变量的方程：齐次方程 72

2.1.3第二类可化成可分离变量的方程 74

2.2一阶线性方程 78

2.2.1一阶线性方程及其解法 78

2.2.2伯努利方程 84

2.2.3里卡蒂方程 86

2.3全微分方程积分因子 88

2.3.1全微分方程 88

2.3.2 积分因子 92

2.4一阶隐式方程 99

2.5某些可降阶的方程 107

2.5.1 y（n）=f（x）型微分方程 107

2.5.2 y″=f（x，y′）型微分方程 107

2.5.3 y″=f（y，y′）型微分方程 109

2.5.4 恰当导数方程 109

2.6初值问题解的存在唯一性定理、奇解、包络 113

2.6.1解的存在唯一性定理 113

2.6.2奇解 115

2.6.3包络 118

第3章 一阶常微分方程组 122

3.1初等积分法 首次积分 122

3.2向量函数与矩阵函数，解的存在唯一性定理 136

3.3一阶齐次线性方程组的一般理论 141

3.4一阶非齐次线性方程组的一般理论 148

3.4.1通解结构 148

3.4.2常数变易法 149

3.5常系数齐次线性常微分方程组的解法 153

3.6常微分方程（组）稳定性理论简介 167

3.6.1一维动力系统的平衡点及稳定性 168

3.6.2 二维动力系统的平衡点及稳定性 169

第4章 高阶线性常微分方程 177

4.1 n阶线性常微分方程的一般理论 177

4.1.1 n阶线性常微分方程的概念 177

4.1.2 n阶齐次线性常微分方程的一般理论 179

4.1.3 n阶非齐次线性常微分方程的一般理论 182

4.2 n阶常系数齐次线性方程的解法 185

4.3n阶常系数非齐次线性方程的解法 191

4.3.1第一类型自由项f（x）=Pm（x）eαx 191

4.3.2第二类型自由项f（x）=eαx［Pl（x）cosβx＋Pn（x）sinβx］ 198

4.4可化成常系数的常微分方程 202

4.4.1欧拉方程 202

4.4.2通过变量变换可化成常系数线性方程的方程 204

第5章 偏微分方程的概念 208

5.1基本概念和定义 208

5.1.1偏微分方程的基本概念 208

5.1.2数学问题 211

5.1.3线性偏微分算子 213

5.2二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类 215

5.2.1二阶两个自变量的半线性偏微分方程的分类与标准形 215

5.2.2 二阶线性偏微分方程的通解 222

第6章 线性偏微分方程的Adomian分解法 224

6.1 Adomian分解法概述 224

6.1.1标准Adomian分解法 224

6.1.2 Adomian分解法的消除噪声项 227

6.1.3修正的Adomian分解法 228

6.2波动方程 232

6.2.1一维波动方程 232

6.2.2高维波动方程 236

6.3热传导方程 241

6.3.1一维热传导方程 241

6.3.2高维热传导方程 243

6.4拉普拉斯方程 247

第7章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法 256

7.1特征线法 256

7.1.1一阶（拟）线性偏微分方程的通解 256

7.1.2一阶（拟）线性偏微分方程的初值问题 262

7.2达朗贝尔公式 反射法 271

7.2.1达朗贝尔公式：无界弦的自由振动规律 271

7.2.2反射法：半限长弦的自由振动规律 272

7.2.3齐次化原理：无界弦的受迫振动规律 273

7.2.4高维波动方程 275

7.3分离变量法简介 277

7.3.1有界弦的波动方程 277

7.3.2有界杆的热传导方程 282

7.3.3有界区域上的拉普拉斯方程 284

第8章 布莱克-斯科尔斯方程 289

8.1傅里叶变换 289

8.1.1傅里叶变换与逆变换 289

8.1.2傅里叶变换法解偏微分方程 292

8.2布莱克-斯科尔斯方程的解 294

第9章 非线性偏微分方程的Adomian分解法 298

9.1非线性项的Adomian多项式分解 298

9.2用Adomian分解法解非线性偏微分方程 301

9.3数学物理中的几个著名偏微分方程 308

9.3.1克莱因-戈登方程 308

9.3.2伯格斯方程 313

9.3.3电报方程 315

9.3.4 KDV方程 317

9.4非线性常微分方程的Adomian分解法 319

第10章 变分迭代法简介 325

参考文献 341

部分习题参考答案 343