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第七章 多元函数微分学 1

7.1　平面点集与多元函数 1

一、平面点集 1

二、平面R2的连续性 4

三、多元函数概念 6

练习题7.1 7

7.2　二元函数的极限与连续 8

一、二元函数的极限 8

二、二元函数的连续性 12

练习题7.2 15

7.3　多元函数微分法 16

一、偏导数 16

二、全微分 18

三、可微性的几何意义 21

四、复合函数微分法 23

五、方向导数 25

练习题7.3 27

7.4　二元函数的泰勒公式 28

一、高阶偏导数 28

二、二元函数的泰勒公式 31

三、二元函数的极值 34

练习题7.4 39

第八章 隐函数与隐函数组 42

8.1　隐函数 42

一、一元隐函数定理 42

二、n元隐函数定理 46

练习题8.1 47

8.2　隐函数组 49

一、隐函数组定理 49

二、反函数组定理 54

练习题8.2 56

8.3　条件极值 57

练习题8.3 63

8.4　几何应用 64

一、空间曲线的切线与法平面 64

二、曲面的切平面与法线 66

练习题8.4 69

第九章 向量函数微分学 71

9.1　n维欧氏空间与向量值函数 71

一、n维欧氏空间 71

二、向量值函数 75

三、向量值函数的极限与连续 77

练习题9.1 79

9.2　向量值函数的导数与可微性 81

一、方向导数与偏导数 81

二、可微性 82

三、求导法则 86

四、中值不等式与极值 89

练习题9.2 95

9.3　反函数定理与隐函数定理 96

练习题9.3 101

第十章 重积分 103

10.1　闭区间上的重积分 103

一、重积分的概念 103

二、可积性理论 107

三、重积分的性质 113

练习题10.1 114

10.2　有界集合上的重积分 115

10.3　重积分的计算 118

一、二重积分的计算 118

二、三重积分的计算 129

练习题10.3 136

10.4　重积分的应用 138

一、曲面的面积 138

二、物体的重心 142

三、通讯卫星的覆盖问题 142

练习题10.4 143

10.5　n重积分 144

一、n重积分的概念与性质 144

二、n重积分的计算 145

练习题10.5 149

第十一章 曲线积分与曲面积分 150

11.1　曲线积分 150

一、第一型曲线积分 150

二、第二型曲线积分 153

三、两类曲线积分的关系 158

练习题11.1 159

11.2　曲面积分 160

一、第一型曲面积分 160

二、第二型曲面积分 163

练习题11.2 168

11.3　各种积分间的联系 169

一、格林公式 169

二、奥高公式 177

三、斯托克斯公式 179

练习题11.3 182

第十二章 级数 185

12.1　数项级数 185

一、收敛级数的概念与性质 185

二、正项级数 188

三、变号级数 194

四、收敛级数的运算律 199

练习题12.1 203

12.2　函数项级数 206

一、函数项级数的概念 206

二、函数项级数的一致收敛 208

三、和函数的分析性质 216

练习题12.2 219

12.3　幂级数 222

一、幂级数的收敛域与收敛半径 222

二、幂级数和函数的性质 225

三、函数的幂级数展开式 229

四、幂级数的应用 233

练习题12.3 235

12.4　傅立叶级数 236

一、傅立叶级数的概念 236

二、傅立叶级数的收敛定理 238

三、函数的傅立叶级数展开式 242

四、傅立叶级数的性质 251

练习题12.4 254

第十三章 广义积分与含参变量的积分 256

13.1　广义积分 256

一、无穷积分 256

二、瑕积分 267

练习题13.1 272

13.2　含参变量的积分 273

一、含参变量的有限积分 273

二、含参变量的无穷积分 277

三、Γ函数与B函数 285

练习题13.2 288

13.3　广义重积分 290

一、无界区域上的广义重积分 290

二、无界函数的广义重积分 293

练习题13.3 295

第十四章 微分形式的积分与斯托克斯公式 297

14.1　定向 297

一、坐标空间的定向 297

二、空间曲线的定向 298

三、空间曲面的定向 298

四、平面区域的定向 299

五、空间区域的定向 299

14.2　外积与外微分 300

一、微分的外积 300

二、微分外积的几何意义 301

三、微分外积的运算规则 303

四、微分形式和外微分 304

练习题14.2 306

14.3　微分形式的积分 306

一、一次微分形式的积分 306

二、二次微分形式的积分 307

三、三次和零次微分形式的积分 308

14.4　斯托克斯公式 309

练习题14.4 310

14.5　闭微分形式与恰当微分形式 311

练习题14.5 312

14.6　场论初步 312

一、数量场的方向导数与梯度 313

二、向量场的流量与散度 314

三、向量场的环量与旋度 316

四、几种特殊的向量场 318

五、微分算子 318

练习题14.6 319

练习题答案 320

参考文献 333