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第二篇 微积分 1

第八章 无穷级数 1

8.1 数项级数的收敛与发散 1

8.1.1 基本概念 1

8.1.2 收敛级数的性质 5

习题8.1 7

8.2 正项级数 8

8.2.1 有界性准则 9

8.2.2 比较判别法 10

8.2.3 比值判别法 13

8.2.4 根值判别法 15

8.2.5 积分判别法 16

习题8.2 17

8.3 一般级数 19

8.3.1 交错级数 19

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 20

8.3.3 绝对收敛级数的性质 21

习题8.3 24

8.4 函数项级数的基本概念 26

8.4.1 函数项级数的概念 26

8.4.2 函数项级数的一致收敛性 27

8.4.3 一致收敛级数的性质 30

习题8.4 31

8.5 幂级数及其收敛性 32

8.5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间 33

8.5.2 收敛半径的求法 35

8.5.3 幂级数的性质 38

习题8.5 42

8.6 Taylor级数 43

8.6.1 基本定理 43

8.6.2 将函数展开为幂级数 46

习题8.6 51

8.7 周期函数的Fourier级数 52

8.7.1 正交三角函数系 52

8.7.2 Fourier级数 54

8.7.3 Dirichlet收敛定理 55

8.7.4 正弦级数和余弦级数 57

习题8.7 59

8.8 任意区间上的Fourier级数 60

8.8.1 区间［—π，π］上的Fourier级数 60

8.8.2 区间［—l,l］上的Fourier级数 63

习题8.8 65

8.9 Fourier级数的复数形式 66

习题8.9 69

总习题8 69

第九章 多元函数的微分学 74

9.1 n维欧氏空间 74

9.1.1 n维欧氏空间Rn 74

9.1.2 邻域 75

9.1.3 内点、外点、边界点、聚点 76

9.1.4 开集 76

9.1.5 闭集 76

9.1.6 区域 76

习题9.1 77

9.2 多元函数的极限与连续 77

9.2.1 多元函数的概念 77

9.2.2 二元函数的几何意义 78

9.2.3 等高线和等位面 78

9.2.4 极限与连续 79

习题9.2 80

9.3 偏导数和全微分 81

9.3.1 偏导数 81

9.3.2 全微分 83

9.3.3 可微性与连续性、偏导数存在性的关系 84

习题9.3 87

9.4 复合函数微分法和高阶全微分 88

9.4.1 复合函数求导法 88

9.4.2 一阶全微分形式不变性 90

9.4.3 高阶偏导数和高阶全微分 91

习题9.4 93

9.5 方向导数与梯度 94

9.5.1 方向导数 94

9.5.2 梯度 96

习题9.5 97

9.6 隐函数微分法 98

9.6.1 函数隐藏于一个方程的情形 98

9.6.2 函数隐藏于方程组的情形 99

9.6.3 隐函数存在定理 101

习题9.6 105

9.7 多元函数的Taylor公式 105

习题9.7 107

9.8 多元函数的极值 108

9.8.1 多元函数极值 108

9.8.2 极值的必要条件 108

9.8.3 极值的充分条件 109

9.8.4 最大值和最小值 111

习题9.8 113

9.9 多元函数的条件极值 113

9.9.1 条件极值 113

9.9.2 Lagrange乘数法 114

习题9.9 117

9.10 向量值函数的导数 117

9.10.1 向量值函数 117

9.10.2 向量值函数的极限和连续性 119

9.10.3 向量值函数的导数 120

习题9.10 121

9.11 偏导数的几何应用 121

9.11.1 空间曲线的切线与法平面 121

9.11.2 曲面的切平面与法线 124

习题9.11 126

总习题9 126

第十章 重积分 129

10.1 二重积分的概念 129

10.1.1 曲顶柱体的体积 129

10.1.2 平面薄片的质量 130

10.1.3 二重积分的定义 131

10.1.4 二重积分的性质 132

习题10.1 134

10.2 二重积分的计算法 135

10.2.1 二重积分的直角坐标计算法 136

10.2.2 二重积分的极坐标计算法 140

10.2.3 二重积分的一般换元法 142

习题10.2 145

10.3 广义二重积分 148

习题10.3 149

10.4 三重积分的概念及计算 149

10.4.1 三重积分的概念 149

10.4.2 三重积分的直角坐标计算法 151

10.4.3 三重积分的柱坐标计算法 154

10.4.4 三重积分的球坐标计算法 156

习题10.4 158

10.5 重积分的应用 160

10.5.1 体积 160

10.5.2 物体的质心 161

10.5.3 转动惯量 163

10.5.4 引力 165

习题10.5 167

总习题10 167

第十一章 含参变量积分 170

11.1 含参变量的常义积分 170

11.1.1 含参变量常义积分的定义 170

习题11.1 174

11.2 反常积分收敛性判别法 174

11.2.1 无穷限积分收敛性判别法 174

11.2.2 无界函数的反常积分收敛性判别法 179

习题11.2 183

11.3 含参变量的反常积分 184

11.3.1 一致收敛性 184

11.3.2 含参变量反常积分的性质 189

习题11.3 192

总习题11 193

第十二章 第一型曲线积分和曲面积分 195

12.1 第一型曲线积分 195

习题12.1 199

12.2 第一型曲面积分的计算 200

12.2.1 曲面面积 200

12.2.2 第一型曲面积分 203

习题12.2 207

总习题12 208

第十三章 第二型曲线积分和曲面积分 209

13.1 第二型曲线积分 209

13.1.1 第二型曲线积分的概念和性质 209

13.1.2 第二型曲线积分的计算 211

13.1.3 两类曲线积分的联系 214

习题13.1 216

13.2 Green公式 217

13.2.1 Green公式 217

13.2.2 Green公式的应用 219

习题13.2 222

13.3 平面曲线积分与路径无关的条件、保守场 223

13.3.1 平面曲线积分与路径无关的条件 223

13.3.2 原函数与全微方程 227

13.3.3 保守场与势函数 230

习题13.3 231

13.4 第二型曲面积分 232

13.4.1 曲面的侧 232

13.4.2 第二型曲面积分的概念 233

13.4.3 第二型曲面积分的计算 235

13.4.5 两类曲面积分的联系 238

习题13.4 240

13.5 Guass公式、通量和散度 241

13.5.1 Guass公式 241

13.5.2 通量和散度 244

习题13.5 248

13.6 Stokes公式、方向旋量和旋度 249

13.6.1 Stokes公式 249

13.6.2 方向旋量和旋度 253

习题13.6 255

13.7 Hamilton算子 256

13.7.1 Hamilton算子的运算规则 256

13.7.2 几个基本公式 256

13.7.3 例子 257

习题13.7 259

13.8 向量的外积与外微分形式 259

13.8.1 向量的外积 259

13.8.2 外微分形式及外微分 261

13.8.3 场论基本公式的统一形式 263

习题13.8 265

第三篇 常微分方程 266

第十四章 常微分方程 266

14.1 微分方程的基本概念 266

习题14.1 268

14.2 一阶微分方程 269

14.2.1 变量可分离方程 269

14.2.2 齐次微分方程 271

14.2.3 一阶线性微分方程 272

14.2.4 恰当方程 274

14.2.5 一阶方程的初等变换法和积分因子法 276

14.2.6 一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性 281

14.2.7 一阶微分方程的幂级数解法举例 281

习题14.2 283

14.3 二阶微分方程 285

14.3.1 可降阶的二阶微分方程 285

14.3.2 二阶线性微分方程 287

14.3.3 二阶常系数线性微分方程 294

14.3.4 几种特殊的二阶变系数线性微分方程 300

习题14.3 303

14.4 n阶微分方程 305

14.4.1 可降阶的n阶线性微分方程 305

14.4.2 n阶线性微分方程 309

14.4.3 n阶常系数线性方程 311

14.4.4 n阶Euler方程 312

习题14.4 313

总习题14 314

第十五章 线性微分方程组 316

15.1 常系数线性微分方程组的初等解法 316

15.2 常系数线性方程组的算子解法 318

15.3 变系数线性方程组解法举例 320

总习题15 321

参考文献 323

习题答案与提示 324