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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数的概念 1

1.1.1 邻域 1

1.1.2 函数的定义 2

1.1.3 函数的常用表示法 3

1.1.4 函数关系的建立 4

1.1.5 反函数 5

1.1.6 函数的基本性态 6

习题1-1 7

1.2 初等函数 7

1.2.1 基本初等函数 7

1.2.2 复合函数 11

1.2.3 初等函数 12

1.2.4 双曲函数与反双曲函数 12

习题1-2 14

1.3 极限的概念 14

1.3.1 数列极限的定义 14

1.3.2 函数极限的定义 16

习题1-3 19

1.4 无穷小与无穷大 19

1.4.1 无穷小 19

1.4.2 无穷小与函数极限的关系 20

1.4.3 无穷大 20

1.4.4 无穷小与无穷大的关系 21

习题1-4 21

1.5 极限的四则运算法则 22

1.5.1 极限的四则运算法则 22

1.5.2 法则应用举例 22

1.5.3 无穷小的运算性质 26

习题1-5 27

1.6 两个重要极限 28

1.6.1 第一个重要极限 28

1.6.2 第二个重要极限 30

习题1-6 31

1.7 无穷小的比较 31

1.7.1 无穷小比较的概念 31

1.7.2 常用等价无穷小 32

1.7.3 关于等价无穷小的重要结论 33

习题1-7 35

1.8 函数的连续性与间断点 35

1.8.1 函数的连续性 35

1.8.2 函数的间断点 37

习题1-8 38

1.9 连续函数的运算与性质 39

1.9.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 39

1.9.2 复合函数的连续性 39

1.9.3 初等函数的连续性 39

1.9.4 闭区间上连续函数的性质 40

习题1-9 42

小结与复习 43

单元自测题（一） 47

第2章 导数与微分 50

2.1 导数的概念 50

2.1.1 导数的定义 50

2.1.2 函数的可导性与连续性的关系 54

2.1.3 导数的几何意义 55

2.1.4 导数的物理意义 56

习题2-1 56

2.2 函数的求导法则 57

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 57

2.2.2 复合函数的求导法则 59

2.2.3 导数基本公式和基本求导法则 60

习题2-2 62

2.3 高阶导数 63

2.3.1 高阶导数的概念 63

2.3.2 求高阶导数的方法 63

2.3.3 二阶导数的力学意义 65

习题2-3 66

2.4 函数的微分 66

2.4.1 微分的定义 66

2.4.2 函数可微的条件 67

2.4.3 微分基本公式与微分运算法则 68

习题2-4 71

2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法 71

2.5.1 隐函数的微分法 71

2.5.2 对数微分法 73

2.5.3 由参数方程所确定的函数的微分法 74

习题2-5 76

小结与复习 77

单元自测题（二） 80

第3章 导数的应用 83

3.1 微分中值定理 83

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 83

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 84

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 85

习题3-1 86

3.2 洛必达（L'Hospital）法则 87

习题3-2 91

3.3 函数的单调性与极值 92

3.3.1 函数的单调性 92

3.3.2 函数的极值及其求法 95

习题1-3 98

3.4 曲线的凹凸性与拐点 98

3.4.1 曲线凹凸性的定义 98

3.4.2 曲线凹凸性的判定 99

3.4.3 拐点的求法 100

习题3-4 102

3.5 函数图形的描绘 102

3.5.1 渐近线 102

3.5.2 函数图形的描绘 103

习题3-5 105

3.6 函数的最值 106

习题3-6 107

小结与复习 108

单元自测题（三） 112

第4章 不定积分 114

4.1 不定积分的概念与性质 114

4.1.1 原函数与不定积分的概念 114

4.1.2 不定积分的性质 115

4.1.3 基本积分表 116

4.1.4 直接积分法 117

习题4-1 118

4.2 换元积分法 118

4.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 119

4.2.2 第二换元积分法 125

4.2.3 其他换元积分法 128

4.2.4 积分表续 130

习题4-2 130

4.3 分部积分法 131

习题4-3 136

4.4 积分表的使用 136

习题4-4 138

小结与复习 138

单元自测题（四） 142

第5章 定积分 145

5.1 定积分的概念与性质 145

5.1.1 引例 145

5.1.2 定积分的概念 147

5.1.3 定积分的几何意义 149

5.1.4 定积分的性质 150

习题5-1 153

5.2 微积分基本公式 153

5.2.1 积分上限的函数及其导数 154

5.2.2 牛顿-莱布尼兹（Netow-Leibniz）公式（微积分基本公式） 156

习题5-2 158

5.3 定积分的换元法积分法和分部积分法 158

5.3.1 定积分换元积分法 159

5.3.2 定积分的分部积分法 162

习题5-3 164

5.4 反常积分 165

5.4.1 无穷区间的反常积分 165

5.4.2 无界函数的反常积分 167

习题5-4 169

小结与复习 169

单元自测题（五） 173

第6章 定积分的应用 176

6.1 定积分的元素法 176

6.2 平面图形的面积 177

6.2.1 直角坐标系下平面图形的面积 177

6.2.2 极坐标系下平面图形的面积 180

习题6-2 182

6.3 体积 182

6.3.1 旋转体的体积 182

6.3.2 平行截面面积为已知的立体的体积 185

习题6-3 186

6.4 定积分的物理应用 186

6.4.1 功 186

6.4.2 液体的压力 187

习题6-4 188

小结与复习 189

单元自测题（六） 191

第7章 微分方程 193

7.1 微分方程的基本概念 193

7.1.1 微分方程的概念 193

7.1.2 微分方程的解 194

习题7-1 195

7.2 可分离变量的微分方程与齐次方程 196

7.2.1 可分离变量的微分方程 196

7.2.2 齐次方程 199

习题7-2 201

7.3 一阶线性微分方程 201

7.3.1 一阶线性齐次方程的解法 202

7.3.2 一阶线性非齐次方程的解法 202

习题7-3 204

7.4 可降阶的高阶微分方程 205

7.4.1 y（n）=f（x）型的微分方程 205

7.4.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 206

7.4.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 207

习题7-4 208

7.5 二阶线性微分方程解的结构 208

习题7-5 211

7.6 二阶常系数线性齐次微分方程 211

习题7-6 214

7.7 二阶常系数线性非齐次微分方程 214

7.7.1 f（x）=Pm（x）eλx型 215

7.7.2 f（x）=Pm（x）eλx cos ωx或Pm（x）eλxsin ωx型 217

习题7-7 218

小结与复习 219

单元自测题（七） 222

附录 224

附录A 常用初等代数公式和基本三角公式 224

附录B 积分表 227

附录C 常用曲线的图形 237

附录D 习题参考答案 240