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第一章 多元函数的极限和连续性 1

1　多元函数的概念 1

1.1　平面点集 1

1.2　多元函数 5

2　多元函数的极限 8

2.1　二重极限 8

2.2　极限的运算法则 11

2.3　二次极限 12

3　多元函数的连续性 14

3.1　连续函数 14

3.2　有界闭区域上连续函数的性质 16

3.3　多元初等函数的连续性 17

第二章 多元函数的微分学及其应用 19

1　偏导数 19

1.1　偏导数 19

1.2　高阶偏导数 22

2　全微分 26

2.1　微分中值定理 26

2.2　全微分 28

2.3　高阶全微分 33

3　复合函数的微分法 35

3.1　链锁规则 35

3.2　一阶全微分形式不变性 40

4　隐函数微分法 44

4.1 由方程式确定的隐函数的微分法 44

4.2 由方程组确定的隐函数的微分法 47

4.3　Jacobi行列式的性质 51

5　方向导数和梯度 55

5.1　方向导数 55

5.2　梯度 58

6　多元微分学的几何应用 60

6.1　空间曲线的切线和法平面 60

6.2　曲面的切平面与法线 64

7　多元函数的Taylor公式与极值问题 69

7.1　多元函数的Taylor公式 69

7.2　多元函数的极值问题 72

7.3　条件极值问题 77

第三章　重积分 84

1　二重积分的概念与性质 84

1.1　二重积分的概念 84

1.2　二重积分的几何意义和性质 87

2　二重积分的计算 91

2.1　在直角坐标系下计算二重积分 91

2.2　在极坐标系下计算二重积分 97

2.3　二重积分的换元法 102

3　三重积分 110

3.1　三重积分的概念 110

3.2　在直角坐标系下计算三重积分 111

3.3　在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分 116

4　含参变量的积分与反常重积分 124

4.1　含参变量的积分 124

4.2　含参变量的反常积分 129

4.3　Γ函数与B函数 131

4.4　反常重积分 134

第四章 第一型曲线积分与曲面积分 138

1　第一型曲线积分 138

1.1　第一型曲线积分的概念与性质 138

1.2　第一型曲线积分的计算 140

2　第一型曲面积分 145

2.1　第一型曲面积分的概念与性质 145

2.2　曲面面积的计算 147

2.3　第一型曲面积分的计算 149

3　几何形体上的积分及其应用 152

3.1　几何形体上的积分概念 152

3.2　几何形体上积分的性质 153

3.3　几何形体上的积分应用举例 154

第五章 第二型曲线积分与曲面积分 164

1　第二型曲线积分 164

1.1　第二型曲线积分的概念与性质 164

1.2　两种曲线积分之间的关系 167

1.3　第二型曲线积分的计算 168

2　Green公式及其应用 173

2.1　Green公式 174

2.2　平面曲线积分与路径无关的条件 179

3　第二型曲面积分 185

3.1　第二型曲面积分的概念与性质 185

3.2　第二型曲面积分的计算 189

4　Gauss公式及其应用 196

4.1　Gauss公式 196

4.2　散度 200

5　Stokes公式 204

5.1　Stokes公式 204

5.2　旋度 207

第六章　无穷级数 210

1　数项级数的概念与性质 210

1.1　数项级数的概念 210

1.2　数项级数的性质 212

2　正项级数的敛散性 214

2.1　比较判别法 214

2.2　比值判别法（d'Alembert判别法） 218

2.3　根值判别法（Cauchy判别法） 219

2.4　积分判别法 220

3　任意项级数 222

3.1　Cauchy收敛准则Leibniz判别法 222

3.2　绝对收敛与条件收敛 225

3.3　级数的乘法运算 227

4　函数项级数 229

4.1　函数项级数的概念 229

4.2　函数项级数的一致收敛性 231

4.3　一致收敛级数的和函数的性质 235

5　幂级数 238

5.1　幂级数及其收敛性 238

5.2　幂级数的运算 241

5.3　函数展开成幂级数 243

5.4　幂级数的应用举例 247

6　Fourier级数 251

6.1　三角函数系的正交性 251

6.2　以2π为周期的函数的Fourier级数 251

6.3　奇、偶函数的展开 258

6.4　函数展开成正弦级数或余弦级数 259

6.5　以2l为周期的函数的Fourier级数 261

6.6　Fourier级数的复数形式 266

第七章 常微分方程与差分方程 270

1　常微分方程的基本概念 270

1.1　常微分方程举例 270

1.2　基本概念 272

2　可分离变量的方程 275

2.1 可分离变量的方程 275

2.2　齐次方程 278

3　一阶线性微分方程 284

3.1　一阶齐次线性微分方程 284

3.2　一阶非齐次线性微分方程 285

3.3　Bernoulli方程 288

4　全微分方程和积分因子 291

4.1　全微分方程 291

4.2　积分因子 294

5　一阶隐方程 298

5.1　参数形式的解 298

5.2　方程y=f(x,y＇) 300

5.3　方程x=f(y,y＇) 302

6　可降阶的高阶微分方程 304

6.1　方程y(n)=f(x) 304

6.2　方程y＂=f(x,y＇) 305

6.3　方程y＂=f(y,y＇) 308

7　高阶齐次线性微分方程 312

7.1　通解的结构 312

7.2　通解的求法 313

7.3　常系数齐次线性微分方程 316

8　高阶非齐次线性微分方程 324

8.1　通解的结构 324

8.2　通解的求法 325

8.3　二阶常系数非齐次线性微分方程 328

8.4　Euler方程 339

8.5　应用举例 341

9　差分方程 348

9.1　差分的概念和性质 348

9.2　差分方程的概念 351

9.3　一阶线性差分方程 352

9.4　线性差分方程通解的结构 356

9.5　二阶常系数线性差分方程 357

习题参考答案 370

参考文献 396