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一、双基篇 1

（一）代数要点 1

1．对数 1

（1）对数的意义 1

（2）对数的性质 1

（3）对数运算法则 2

（4）对数恒等式 2

（5）对数换底公式 2

2．方程 2

（1）一元一次方程 2

（2）一元二次方程 3

（3）一元高次方程 3

（4）分式方程 5

（5）无理方程 5

（6）指数方程 5

（7）对数方程 5

（8）解方程的同解变形与增根、减根 6

3．方程组 7

（1）方程组的同解变形 7

（2）二元一次方程组 8

（3）二元二次方程组 8

4．不等式 9

（1）不等式的性质、公式 9

（2）不等式的同解变形 10

（3）一元一次不等式的解 12

（4）一元二次不等式的解 12

（5）分式不等式的解 13

（6）无理不等式的解 13

（7）简单的高次不等式的解 14

（8）证明不等式 14

5．集合 15

（1）集合的基本概念 15

（2）集合间关系 15

（3）集合的性质 16

6．映射与函数 17

（1）对应 17

（2）单值对应（映射） 18

（3）象与原象 18

（4）记号φ（x）的意义 18

（5）有关映射的一些问题 18

（6）逆对应 19

（7）函数 19

（8）初等函数的分类 20

（9）函数定义域的求法 20

（10）函数值域的求法 21

（11）反函数 22

（12）函数的重要性质 22

（13）函数图象的几何变换 25

（14）几种初等函数的定义、性质和图象 26

7．数列 29

（1）数列与数列的通项公式 29

（2）数列的分类 29

（3）求数列通项的方法 30

（4）和号∑的性质与计算 30

（5）等差数列、等比数列 31

8．数列的极限 33

9．无穷等比数列各项的和 34

10．数学归纳法 34

（1）不完全归纳 34

（2）完全归纳 34

（3）数学归纳法 34

11．行列式 35

（1）二阶行列式与三阶行列式 35

（2）二阶行列式与三阶行列式的对角线展开法 36

（3）行列式的性质 37

（4）按一行或一列展开行列式 38

（5）线性方程组的解的讨论 39

12．复数 40

（1）复数的主要概念 40

（2）复数的运算法则 43

（3）复数运算中常用的性质 47

（4）平面图形的复数表示 48

13．排列、组合 49

（1）乘法原理与加法原理 50

（2）排列的定义与计算公式 50

（3）组合的定义与计算公式 51

14．二项式定理 52

（1）第一项相同而第二项不同的若干个二项式的积 52

（2）二项展开式 52

（3）二项展开式的通项公式 52

（4）二项展开式的规律 52

（5）杨辉三角 53

（6）一些常用的组合数的和 53

（二）平面三角要点 54

1．角的度量 54

（1）角度制 54

（2）弧度制 55

（3）角度制与弧度制换算 55

2．角的概念的推广 55

（1）角 55

（2）正角、负角、零角 55

（3）象限角 55

（4）终边相同的角 55

（5）区间角 56

3．任意角的三角函数的定义 56

4．三角函数线 57

5．同角三角函数间的关系 58

6．三角函数的诱导公式 59

7．特殊角的三角函数值 61

8．三角函数的性质 62

9．三角函数图象的画法 63

（1）列表描点法 63

（2）利用三角函数线 63

（3）利用函数图象的几何变换 64

（4）五点法 65

（5）一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)中，A,ωφ的意义 67

10．三角恒等式 67

（1）两角和、差的三角函数公式 67

（2）倍角三角函数公式 68

（3）半角三角函数公式 69

（4）万能公式 69

（5）和差化积公式 70

（6）积化和差公式 71

（7）降幂公式 71

11．反三角函数 72

（1）反三角函数的定义 72

（2）反三角函数的性质与图象 72

（3）反三角函数公式 74

12．三角方程 75

（1）三角方程的定义 75

（2）最简单的三角方程的解 76

（3）三角方程的解法 76

13．解三角形 78

（1）解三角形的意义 78

（2）直角三角形的解法 78

（3）斜三角形的解法 78

（三）立体几何要点 80

1．平面 80

（1）平面的判定 80

（2）平面的性质 80

（3）确定平面的条件 80

2．直线与直线 81

（1）两条不重合的直线的位置关系 81

（2）异面直线 81

（3）直线与直线平行的判定和性质 82

（4）直线与直线垂直的判定和性质 83

3．直线与平面 84

（1）直线与平面的位置关系 84

（2）直线与平面所成角 85

（3）直线与平面的距离 86

（4）直线与平面平行的判定和性质 86

（5）直线与平面垂直的判定和性质 87

4．平面与平面 89

（1）平面与平面的位置关置 89

（2）平面与平面间的距离 89

（3）平面与平面所成的角 89

（4）平面与平面平行的判定和性质 90

（5）平面与平面垂直的判定和性质 92

5．直线与平面一章常用定理和公式 93

6．棱柱 96

（1）棱柱的定义、基本性质和计算公式 96

（2）特殊四棱柱的定义、基本性质和计算公式 97

7．棱锥的定义、基本性质和计算公式 98

8．棱台的定义、基本性质和计算公式 99

9．圆柱、圆锥、圆台的定义、基本性质和计算公式 100

10．球、球面、球缺、球冠的定义和计算公式 102

11．正多面体 104

（1）定义 104

（2）决定正多面体的条件 104

（3）正多面体的种类 104

（4）正多面体的性质 105

12．欧拉公式 105

13．祖暅原理 105

（四）平面解析几何要点 105

1．平面解析几何的基本概念和基本公式 105

（1）点与直角坐标一一对应 105

（2）有向直线 106

（3）有向线段 106

（4）有向线段的方向 106

（5）有向线段的长度 106

（6）有向线段的数量 106

（7）数轴上有向线段的数量公式 106

（8）数轴上两点间距离公式 107

（9）平面上两点间距离公式 107

（10）一点分有向线段之比 107

（11）有向线段的定比分点坐标公式 107

（12）直线的倾斜角 108

（13）直线的斜率 108

（14）过平面上两点的直线斜率公式 108

（15）三角形面积公式 108

2．曲线和方程 108

3．已知曲线求它的方程 109

4．已知方程求它的曲线 109

5．直线 110

（1）直线的方程 110

（2）点与直线的关系 111

（3）两直线间的关系 111

（4）其他 112

6．直线系 112

7．圆 115

8．椭圆 117

9．双曲线 121

10．抛物线 127

11．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义 130

12．坐标交换 131

（1）平移与旋转 131

（2）一般二元二次方程的讨论 133

13．圆锥曲线与二元二次方程 134

（1）圆锥曲线（圆锥截线） 134

（2）二元二次方程 134

（3）圆锥曲线系 134

14．参数方程 134

（1）参数方程的意义 134

（2）常见曲线的参数方程 135

（3）参数方程与普通方程的互化 139

（4）求动点轨迹的参数方程的步骤 140

（5）参数方程的图形的画法 140

15．极坐标 141

（1）极坐标和极坐标方程的概念 141

（2）常见曲线的极坐标方程 143

（3）极坐标与直角坐标互换公式 147

（4）极坐标方程与直角坐标方程互化 147

（5）判定两点P,Pl对称性 148

（6）判定极坐标方程φ(ρ,θ)=0的图形对称性 148

（7）求轨迹的极坐标方程的步骤 148

（8）极坐标方程的图形画法步骤 149

（9）直角坐标系与极坐标系中某些问题的不同 150

二、题型篇 161

（一）选择题 161

1．代数 161

2．三角 196

3．立体几何 204

4．平面解析几何 215

（二）是非判断题 232

立体几何 232

（三）填空题 235

1．代数 235

2．三角 275

3．立体几何 285

4．平面解析几何 295

（四）轨迹问题 307

1．定义法 307

2．条件代换法（或直接求法） 311

3．坐标代换法（或相关点法） 316

4．参数法 321

5．极坐标法 325

（五）最值问题 330

1．利用二次函数的有关知识 330

2．利用平均数定理 331

3．利用最值定理 331

4．利用判别式 331

5．利用正弦函数和余弦函数的有界性 332

6．利用函数的单调性 332

三、解题方法与思路篇（一）常用的推理方法 364

1．分析法与综合法 364

（1）综合法 364

（2）分析法 365

2．直接证法与间接证法 366

（1）直接证法 366

（2）间接证法 366

3．演绎与归纳 372

（1）演绎 372

（2）归纳 372

（3）数学归纳法 373

（二）常用的思路、方法与技巧 387

1．数、式运算方面 387

（1）数、式化简和求值 387

（2）复数运算 395

（3）解方程化简 397

（4）解应用题计算 399

2．数形结合，相辅相成 401

3．变量代换，化繁为简 421

（1）恒等变形与求值计算中的换元 421

（2）自身代换 423

（3）利用函数关系换元 426

（4）设比值k换元 428

（5）解方程与解方程组中的换元 431

（6）均值换元 442

（7）利用三角函数换元 447

（8）解析几何中的变换方法 475

（9）平面几何中的变换方法 491

（10）立体几何中的变换方法 513

4．配方法 537

5．待定系数法 550

6．放缩法 564

7．分类讨论法 566

（1）根据定义，进行分类讨论 568

（2）根据公式、法则、定理的条件，进行分类讨论 574

（3）分层次，逐次分类讨论 576

（4）根据题目里数值的特性，进行分类讨论 579

（5）根据题目的特殊要求，分类讨论 585

四、答疑篇 593

（一）在参数方程与普通方程互化中为什么要重视同解？ 593

（二）双曲线的极坐标方程的几个问题 595

1．画图问题 595

2．p<0带来的问题 596

（三）有关复合函数的问题 598

附录 611

（一）部分数学家简介 611

刘徽 611

赵爽 612

祖冲之 613

祖暅 614

贾宪 615

李冶 615

秦九韶 616

杨辉 617

朱世杰 618

程大位 618

徐光启 619

梅文鼎 620

项名达 621

李善兰 621

华蘅芳 623

华罗庚 623

毕达哥拉斯 624

希波克拉底 625

芝诺 626

欧几里得 626

阿基米德 627

阿波罗尼奥斯 628

希罗 629

邦贝利 629

韦达 630

斯蒂文 630

纳皮尔 631

布里格斯 632

奥特雷德 633

笛卡儿 633

卡瓦列里 634

费马 635

沃利斯 636

帕斯卡 636

莱布尼兹 637

罗尔 638

雅各布·伯努利 638

棣美弗 638

克莱姆 639

欧拉 639

辛普森 640

贝佐 641

拉格朗日 641

高斯 642

柯西 643

阿贝尔 644

康托尔 644

（二）常数表 645

（三）数学符号表 646

1．规模化的数学符号 646

2．待规范的常用数学符号示例 653

（四）拉丁字母 654

（五）希腊字母 654

（六）度、分、秒化弧度表 655

（七）弧度化度、分、秒表 656