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第十二章 数项级数 1

12.1 级数的敛散性 1

一、无穷级数及其基本性质 1

二、级数与阶梯型函数的广义积分 2

三、Leibniz型级数 4

四、条件收敛与绝对收敛 5

12.2 绝对收敛的判别法 6

一、比较判别法 7

二、积分判别法 7

四、D'Alembert判别法 8

三、等价量判别法 8

五、Cauchy判别法 9

12.3 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质·Abel-Dirichlet判别法 11

一、绝对收敛与条件收敛级数的性质 11

二、级数的乘法 13

三、Abel-Dirichlet判别法 14

第十三章 函数项级数与幂级数 17

13.1 一致收敛 17

一、逐点收敛 17

二、一致收敛 17

三、函数项级数及其一致收敛性 20

一、一致收敛的Cauchy准则 22

13.2 函数项级数一致收敛性的判别 22

二、比较判别法 23

三、Abel判别法与Dirichlet判别法 24

13.3 一致收敛函数项级数的性质 26

一、连续性 26

二、逐项积分 27

三、逐项求导 28

13.4 幂级数 30

一、幂级数 30

二、幂级数的收敛半径与收敛域 30

三、幂级数的性质 32

一、Taylor级数 34

13.5 函数的幂级数展开 34

二、基本初等函数的Taylor展开式 35

三、初等函数展开为幂级数 36

第十四章 Fourier级数 39

14.1 Fourier级数 39

一、三角级数 39

二、三角函数系的正交性 39

三、Fourier系数 39

四、Fourier级数的部分和公式 40

五、收敛定理 41

二、正弦级数.余弦级数 43

14.2 周期函数的Fourier级数展开 43

一、几点说明 43

三、以2l为周期的Fourier级数 44

14.3 Fourier级数的收敛与平均收敛 47

一、收敛定理 47

二、平均收敛 49

14.4 Fourier级数的分析性质 52

第十五章 多元函数的极限和连续 54

15.1 欧氏空间R2 54

一、基本概念 54

二、R2完备性的基本定理及单调下降集列的收敛性 58

二、二元函数的极限 60

15.2 多元函数的极限 60

一、多元函数 60

三、累次极限 62

四、集值函数的极限 63

15.3 二元函数的连续性 67

一、二元函数的连续 67

二、连续函数的整体性质 68

15.4 欧氏空间上映射的极限与连续 70

一、欧氏空间上的映射 70

二、欧氏空间上映射的极限与连续 71

一、偏导数 72

第十六章 多元函数的偏导数与全微分 72

16.1 偏导数 72

二、高阶偏导数 73

16.2 全微分 75

一、全微分的定义 75

二、可微的必要条件 76

三、可微的充分条件 77

四、切平面 77

16.3 复合函数的求导法则 79

一、链式法则 79

二、一阶微分形式不变性 81

16.4 方向导数与梯度 84

一、方向导数 84

二、梯度 85

16.5 中值定理与Taylor公式 86

一、Taylor公式 86

二、中值定理 87

16.6 欧氏空间上的可微映射 88

一、全导数 88

二、矩阵函数 88

五、链式法则 89

四、可微条件 89

三、可微映射的定义 89

六、微分中值不等式 90

第十七章 隐函数与反函数 92

17.1 隐函数 92

一、隐函数的概念 92

二、隐函数的求导法 92

三、隐函数存在定理 93

17.2 隐函数组与反函数组 97

一、由方程组所确定的隐函数的求导法 97

二、隐函数组存在定理 97

三、反函数组 98

17.3 一般形式的隐函数定理与反函数定理 102

一、映射的偏导数 102

二、隐函数定理的一般形式 102

三、反函数定理 104

第十八章 切线、切面、极值 105

18.1 切线、切面 105

一、曲线的切向量、切线 105

二、曲面的切平面 105

三、隐函数方程组给出的曲线的切线方程 108

二、极值的必要条件 110

一、极值的概念 110

18.2 极值 110

三、极值的充分条件 111

四、注释 112

五、最小二乘法 112

18.3 条件极值 114

一、条件极值的概念 114

二、Lagrange乘数法 115

一、含参变量正常积分的概念 119

19.2 含参变量的广义积分 119

二、含参变量的分析性质 119

19.1 含参变量的正常积分 119

第十九章 含参变量积分 119

一、一致收敛的概念 122

二、Cauchy准则 125

三、一致收敛的判别法 126

四、含参变量广义积分的分析性质 128

19.3 Euler积分 131

一、Gamma函数Г 131

二、Beta函数 132

第二十章 重积分 136

20.1 二重积分的概念与性质 136

一、二重积分的定义 136

二、可积条件 137

三、二重积分的性质 138

四、约当(Jordan)测度 138

五、可积函数 140

六、再论二重积分的定义 140

20.2 二重积分的计算 143

一、矩形上的二重积分化为累次积分 143

二、有界集上的二重积分化为累次积分 144

三、用极坐标计算二重积分 145

四、二重积分的换元法 147

一、三重积分 155

20.3 三重积分 155

二、化三重积分为累次积分 156

三、三重积分的换元法 156

第二十一章 曲线积分与曲面积分 162

21.1 曲线积分 162

一、第一型曲线积分 162

二、第二型曲线积分 163

三、有向曲线积分的计算 165

21.2 曲面积分 168

一、曲面面积 168

二、曲面面积的计算 169

三、第一型曲面积分 171

四、有向曲面 172

五、第二型曲面积分的概念 173

六、第二型曲面积分的计算 174

第二十二章 多变量微积分的基本定理·场论初步 179

22.1 Green公式·外微分形式 179

一、单连通区域 179

二、Green公式 179

三、Green公式的其他形式 181

四、外微分 181

五、两重积分变量代换定理的证明 181

六、外微分形式 183

一、Gauss公式 187

22.2 Gauss公式，Stokes公式，线积分与路径无关 187

二、Stokes公式 188

三、多元微积分的基本定理 189

四、曲线积分与路径无关 189

22.3 场论初步 194

一、场的概念 194

二、向量线 194

三、梯度 194

四、散度 195

五、旋度 196

六、保守场 197