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第1章 实数系与复数系 1

1.1 引言 1

1.2 域公理 1

1.3 序公理 2

1.4 实数的几何表示 2

1.5 区间 3

1.6 整数 3

1.7 整数的唯一因数分解定理 3

1.8 有理数 5

1.9 无理数 5

1.10 上界，最大元，最小上界（上确界） 6

1.11 完全公理 7

1.12 上确界的某些性质 7

1.13 从完全公理推演出的整数性质 8

1.14 实数系的阿基米德性质 8

1.15 能用有限小数表示的有理数 8

1.16 用有限小数逼近实数 9

1.17 用无限小数表示实数 9

1.18 绝对值与三角不等式 10

1.19 柯西－施瓦茨不等式 11

1.20 正负无穷和扩充的实数系R 11

1.21 复数 12

1.22 复数的几何表示 13

1.23 虚数单位 14

1.24 复数的绝对值 14

1.25 复数排序的不可能性 15

1.26 复指数 15

1.27 复指数的进一步性质 16

1.28 复数的辐角 16

1.29 复数的整数幂和方根 17

1.30 复对数 18

1.31 复幂 18

1.33 无穷远点与扩充的复平面C 19

1.32 复正弦和复余弦 19

练习 20

进一步参考文献 24

第2章 集合论的一些基本概念 25

2.1 引言 25

2.2 记号 25

2.3 序偶 25

2.4 两个集合的笛卡儿积 26

2.5 关系与函数 26

2.6 关于函数的进一步的术语 27

2.7 1-1函数及其反函数 28

2.10 相似（对等）集合 29

2.8 复合函数 29

2.9 序列 29

2.11 有限集与无限集 30

2.12 可数集与不可数集 30

2.13 实数系的不可数性 31

2.14 集合代数 31

2.15 可数集的可数族 33

练习 34

进一步参考文献 36

3.1 引言 37

3.2 欧氏空间Rn 37

第3章 点集拓扑初步 37

3.3 Rn中的开球与开集 38

3.4 Rl中开集的结构 39

3.5 闭集 40

3.6 附贴点，聚点 41

3.7 闭集与附贴点 41

3.8 波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 42

3.9 康托尔交定理 43

3.10 林德勒夫覆盖定理 44

3.11 海涅－博雷尔覆盖定理 45

3.12 Rn中的紧性 45

3.13 度量空间 47

3.14 度量空间中的点集拓扑 48

3.15 度量空间的紧子集 49

3.16 集合的边界 50

练习 50

进一步参考文献 54

第4章 极限与连续性 55

4.1 引言 55

4.2 度量空间中的收敛序列 55

4.3 柯西序列 57

4.5 函数的极限 58

4.4 完备度量空间 58

4.6 复值函数的极限 60

4.7 向量值函数的极限 60

4.8 连续函数 61

4.9 复合函数的连续性 62

4.10 连续复值函数和连续向量值函数 63

4.11 连续函数的例子 63

4.12 连续性与开集或闭集的逆象 64

4.13 紧集上的连续函数 65

4.14 拓扑映射（同胚） 66

4.15 波尔查诺定理 66

4.16 连通性 67

4.18 弧连通性 69

4.17 度量空间的分支 69

4.19 一致连续性 71

4.20 一致连续性与紧集 72

4.21 压缩的不动点定理 72

4.22 实值函数的间断点 73

4.23 单调函数 75

练习 76

进一步参考文献 82

5.2 导数的定义 83

5.3 导数与连续性 83

5.1 引言 83

第5章 导数 83

5.4 导数代数 84

5.5 链式法则 85

5.6 单侧导数和无穷导数 85

5.7 具有非零导数的函数 86

5.8 零导数与局部极值 86

5.9 罗尔定理 87

5.10 微分中值定理 87

5.11 导函数的介值定理 88

5.12 带余项的泰勒公式 89

5.13 向量值函数的导数 90

5.14 偏导数 91

5.15 复变函数的微分 92

5.16 柯西－黎曼方程 93

练习 96

进一步参考文献 100

第6章 有界变差函数与可求长曲线 101

6.1 引言 101

6.2 单调函数的性质 101

6.3 有界变差函数 101

6.4 全变差 103

6.5 全变差的可加性 104

6.6 在［a,x］上作为x的函数的全变差 104

6.7 有界变差函数表示为递增函数之差 105

6.8 有界变差连续函数 105

6.9 曲线与路 106

6.10 可求长的路与弧长 106

6.11 弧长的可加性及连续性性质 108

6.12 路的等价性，参数变换 108

练习 109

进一步参考文献 111

7.2 记号 112

7.1 引言 112

第7章 黎曼－斯蒂尔切斯积分 112

7.3 黎曼－斯蒂尔切斯积分的定义 113

7.4 线性性质 113

7.5 分部积分法 115

7.6 黎曼－斯蒂尔切斯积分中的变量替换 116

7.7 化为黎曼积分 117

7.8 阶梯函数作为积分函数 118

7.9 黎曼－斯蒂尔切斯积分化为有限和 119

7.11 单调递增的积分函数，上积分与下积分 120

7.10 欧拉求和公式 120

7.12 上积分及下积分的可加性与线性性质 123

7.13 黎曼条件 123

7.14 比较定理 124

7.15 有界变差的积分函数 125

7.16 黎曼－斯蒂尔切斯积分存在的充分条件 128

7.17 黎曼－斯蒂尔切斯积分存在的必要条件 128

7.18 黎曼－斯蒂尔切斯积分的中值定理 129

7.19 积分作为区间的函数 130

7.20 积分学第二基本定理 131

7.21 黎曼积分的变量替换 131

7.23 依赖于一个参数的黎曼－斯蒂尔切斯积分 133

7.22 黎曼积分第二中值定理 133

7.24 积分号下的微分法 134

7.25 交换积分次序 134

7.26 黎曼积分存在性的勒贝格准则 136

7.27 复值黎曼－斯蒂尔切斯积分 139

练习 140

进一步参考文献 146

第8章 无穷级数与无穷乘积 147

8.1 引言 147

8.2 收敛的复数序列与发散的复数序列 147

8.3 实值序列的上极限与下极限 147

8.4 单调的实数序列 148

8.5 无穷级数 149

8.6 插入括号和去掉括号 150

8.7 交错级数 151

8.8 绝对收敛与条件收敛 151

8.9 复级数的实部与虚部 152

8.10 正项级数收敛性的检验法 152

8.11 几何级数 153

8.12 积分检验法 153

8.13 大O记号和小o记号 154

8.14 比值检验法和根检验法 155

8.15 狄利克雷检验法和阿贝尔检验法 156

8.16 几何级数∑zn在单位圆｜z｜=1上的部分和 157

8.17 级数的重排 158

8.18 关于条件收敛级数的黎曼定理 158

8.19 子级数 159

8.20 二重序列 160

8.21 二重级数 161

8.22 二重级数的重排定理 162

8.23 累次级数相等的一个充分条件 163

8.24 级数的乘法 164

8.25 切萨罗可求和性 166

8.26 无穷乘积 167

8.27 对于黎曼ζ函数的欧拉乘积 169

练习 170

进一步参考文献 175

第9章 函数序列 176

9.1 函数序列的点态收敛性 176

9.2 实值函数序列的例子 177

9.3 一致收敛的定义 178

9.4 一致收敛与连续性 179

9.5 一致收敛的柯西条件 179

9.6 无穷函数级数的一致收敛 180

9.7 一条填满空间的曲线 181

9.8 一致收敛与黎曼－斯蒂尔切斯积分 182

9.9 可以被逐项积分的非一致收敛序列 183

9.10 一致收敛与微分 185

9.11 级数一致收敛的充分条件 186

9.12 一致收敛与二重序列 187

9.13 平均收敛 187

9.14 幂级数 189

9.15 幂级数的乘法 192

9.16 代入定理 193

9.17 幂级数的倒数 194

9.18 实的幂级数 194

9.19 由函数生成的泰勒级数 195

9.20 伯恩斯坦定理 196

9.21 二项式级数 197

9.22 阿贝尔极限定理 198

9.23 陶伯定理 200

练习 200

进一步参考文献 204

第10章 勒贝格积分 205

10.1 引言 205

10.2 阶梯函数的积分 205

10.3 单调的阶梯函数序列 206

10.4 上函数及其积分 208

10.5 黎曼可积函数作为上函数的例子 211

10.6 一般区间上的勒贝格可积函数类 212

10.7 勒贝格积分的基本性质 213

10.8 勒贝格积分和零测度集 215

10.9 莱维单调收敛定理 216

10.10 勒贝格控制收敛定理 221

10.11 勒贝格控制收敛定理的应用 222

10.12 无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限 224

10.13 反常黎曼积分 225

10.14 可测函数 228

10.15 由勒贝格积分定义的函数的连续性 230

10.16 积分号下的微分法 232

10.17 交换积分次序 235

10.18 实线上的可测集 237

10.19 在R的任意子集上的勒贝格积分 239

10.20 复值函数的勒贝格积分 239

10.21 内积与范数 240

10.22 平方可积函数集合L2(I) 241

10.23 集合L2(I)作为一个半度量空间 242

10.24 关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理 242

10.25 里斯－费希尔定理 243

练习 244

进一步参考文献 250

第11章 傅里叶级数与傅里叶积分 251

11.1 引言 251

11.2 正交函数系 251

11.3 最佳逼近定理 252

11.4 函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数 253

11.5 傅里叶系数的性质 253

11.6 里斯－费希尔定理 254

11.7 三角级数的收敛性与表示问题 255

11.8 黎曼－勒贝格引理 256

11.9 狄利克雷积分 257

11.10 傅里叶级数部分和的积分表示 259

11.11 黎曼局部化定理 260

11.12 傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件 261

11.13 傅里叶级数的切萨罗可求和性 261

11.14 费耶定理的推论 263

11.15 魏尔斯特拉斯逼近定理 263

11.16 其他形式的傅里叶级数 264

11.17 傅里叶积分定理 265

11.18 指数形式的傅里叶积分定理 266

11.19 积分变换 267

11.20 卷积 268

11.21 对于傅里叶变换的卷积定理 269

11.22 泊松求和公式 271

练习 274

进一步参考文献 280

第12章 多元微分学 281

12.1 引言 281

12.2 方向导数 281

12.3 方向导数与连续性 282

12.4 全导数 282

12.5 全导数通过偏导数来表示 284

12.6 对复值函数的一个应用 284

12.7 线性函数的矩阵 285

12.8 雅可比矩阵 286

12.9 链式法则 288

12.10 链式法则的矩阵形式 288

12.11 用于可微函数的中值定理 290

12.12 可微的一个充分条件 291

12.13 混合偏导数相等的一个充分条件 292

12.14 用于从Rn到Rl的函数的泰勒公式 294

练习 296

进一步参考文献 299

第13章 隐函数与极值问题 300

13.1 引言 300

13.2 雅可比行列式不取零值的函数 301

13.3 反函数定理 303

13.4 隐函数定理 305

13.5 一元实值函数的极值 307

13.6 多元实值函数的极值 307

13.7 带边条件的极值问题 310

练习 314

进一步参考文献 316

14.2 Rn内有界区间的测度 317

14.3 在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分 317

14.1 引言 317

第14章 多重黎曼积分 317

14.4 零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则 319

14.5 多重积分通过累次积分求值 319

14.6 Rn内的若尔当可测集 323

14.7 若尔当可测集上的多重积分 324

14.8 若尔当容度表示为黎曼积分 325

14.9 黎曼积分的可加性 325

14.10 多重积分的中值定理 326

练习 328

进一步参考文献 329

15.1 引言 330

15.2 阶梯函数及其积分 330

第15章 多重勒贝格积分 330

15.3 上函数与勒贝格可积函数 331

15.4 Rn内的可测函数与可测集 332

15.5 关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理 333

15.6 零测度集的某些性质 334

15.7 对于二重积分的富比尼归约定理 336

15.8 可积性的托内利－霍布森检验法 338

15.9 坐标变换 339

15.10 多重积分的变换公式 342

15.11 对于线性坐标变换的变换公式的证明 342

15.12 对于紧立方体特征函数的变换公式的证明 344

15.13 变换公式证明的完成 348

练习 349

进一步参考文献 351

第16章 柯西定理与留数计算 352

16.1 解析函数 352

16.2 复平面内的路与曲线 352

16.3 围道积分 353

16.4 沿圆形路的积分作为半径的函数 355

16.5 对于圆的柯西积分定理 356

16.6 同伦曲线 356

16.7 围道积分在同伦下的不变性 358

16.9 柯西积分公式 359

16.8 柯西积分定理的一般形式 359

16.10 回路关于一点的卷绕数 360

16.11 卷绕数为零的点集的无界性 361

16.12 用围道积分定义的解析函数 362

16.13 解析函数的幂级数展开 363

16.14 柯西不等式与刘维尔定理 365

16.15 解析函数零点的孤立性 365

16.16 解析函数的恒等定理 366

16.17 解析函数的最大模和最小模 367

16.18 开映射定理 368

16.19 圆环内解析函数的洛朗展开 368

16.20 孤立奇点 370

16.21 函数在孤立奇点处的留数 372

16.22 柯西留数定理 372

16.23 区域内零点与极点的个数 373

16.24 用留数的方法求实值积分的值 374

16.25 用留数计算的方法求高斯和的值 376

16.26 留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用 379

16.27 共形映射 380

练习 382

进一步参考文献 388

特殊符号索引 389

索引 391