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目录 1

第一编　几何学原理 1

第一章　几何学的公理方法概述 1

§1 几何学的发展与公理方法 1

1.1　几何学的起源 2

1.2　我国古代几何学的成就 4

1.3　欧几里得《几何原本》 6

1.4　欧几里得第五公设问题 9

1.5　非欧几何的发现 11

1.6　近代公里法的形成 12

§2 公理法的构造和原理 13

习题 16

第二章　几何学中的逻辑原则和方法 17

§1 概念与定义 18

1.1　概念 18

1.2　定义 19

习题二 21

§2 判断与数学命题 21

2.1　判断 21

2.2　数学命题 22

习题三 28

§3 推理与证明 28

3.1　推理 28

3.2　证明 31

§4 演绎证法与归纳证法 32

4.1 演绎证法 32

4.2　归纳证法——枚举法、数学归纳法 34

§5 分析证法与综合证法 38

5.1　分析证法与综合证法 38

5.2　解作图题中的分析 42

§6 直接证法与间接证法 43

6.1　反证法 44

6.2　同一法 45

§7　全面使用符号式进行逻辑论证的问题 47

7.1　初等几何中常用的符号和意义 47

7.2　普通语句与符号句（符号式） 51

7.3　用符号式进行逻辑证明 52

§8　逻辑思维的基本规律 55

8.1 同一律 55

8.2　矛盾律 56

8.3　排中律 56

8.4　充足理由律 56

习题四 57

第三章　用公理法建立几何学结构的例子 61

§1 绝对平面几何学结构 61

1.1　结合公理及其推论 61

1.2　顺序公理及其推论 62

1.3　运动公理及其推论 67

1.4　连续公理及其推论 74

1.5　几个重要定理 82

习题五 84

§2 欧几里得平面几何学结构 84

2.1　欧几里得平行公理及其推论 85

2.2　与平行公理V等价的命题 91

习题六 92

§3 罗巴切夫斯基平面几何学结构 93

3.1　罗巴切夫斯基公理的一些直接推论 93

3.2　罗氏平面上直线的相互位置 94

3.3　罗氏平面上的基本曲线 103

习题七 107

§4 几何公理系统的基本问题 107

4.1　公理系统的无矛盾性 107

4.2　公理系统中各公理的独立性 110

4.3　公理系统的完备性 111

结语 112

1.1　点变换 116

§1 几何学的群论原则 116

第四章　欧氏几何和仿射几何 116

第二编　变换群与几何学 116

1.2　变换群 121

1.3　几何学的群论原则 124

习题八 125

§2 正交变换（运动）群及其所属的欧氏几何 126

2.1　正交变换的概念和性质 126

2.2　正交变换的坐标表示与分解 127

2.3　正交变换群的几何——欧氏几何 130

2.4　利用正交变换解作图题 131

习题九 132

§3 相似变换群及其所属的相似几何 133

3.1　位似变换 133

3.2　相似变换的定义与简单性质 135

3.3　相似变换的分解与坐标表示 138

3.4　相似变换群的几何——相似几何 140

3.5　相似变换的应用 141

习题十 144

§4 仿射变换群及其所属的仿射几何 144

4.1　仿射变换的定义及简单性质 144

4.2　仿射坐标系 145

4.3　仿射变换的坐标表示 148

4.4　透视仿射变换 150

4.5　仿射变换的子群 151

4.6　仿射变换的分解 152

4.7　仿射变换群的几何——仿射几何 155

4.8　仿射变换的简单应用 157

习题十一 161

第五章　射影变换群和它的几何——射影几何学 163

§1 射影平面的结构，齐次坐标 163

1.1　从欧氏平面扩充成射影平面 163

1.2　齐次点坐标 168

1.3　直线坐标（线坐标） 173

1.4　复射影平面 176

1.5　射影平面上的对偶原则 178

习题十二 183

§2 点列及线束的交比和调和比 185

2.1 同一直线上四点的交比和调和比 185

2.2　线束里四直线的交比和调和比 190

2.3　完全四点形与完全四线形的调和性 194

习题十三 196

§3 平面上的射影变换 197

3.1　一维基本形间的射影对应和透视对应 197

3.2　一维射影变换和射影坐标 205

3.3　平面上的射影变换 209

3.4　平面上点的射影坐标 211

习题十四 218

§4 射影变换群的几何——射影几何及其子几何 219

4.1　射影变换群及其所属的射影几何学 219

4.2　射影变换群及其重要的子群 223

4.3　射影几何及其子几何间的比较 225

4.4 习题十五 227

第六章　二次曲线的一般理论 228

§1 二次曲线的射影性质 228

1.1　二次曲线的射影性质 229

1.2　巴斯加与布利安桑定理 234

1.3　二次曲线的极点与极线，配极对应 240

1.4　二阶曲线与二级曲线的马克劳林（Maclaurin）定理 246

1.5　二次曲线的射影分类 247

习题十六 250

§2 二次曲线的仿射性质 253

2.1　二次曲线的中心、直径、渐近线 253

2.2　二次曲线的仿射分类 257

习题十七 260

§3 二次曲线的度量性质 260

3.1 圆点与迷向直线 261

3.2　主轴、焦点和准线 264

习题十八 269