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第一章 误差 1

1 误差 1

1.1 误差的来源 1

1.2 绝对误差和绝对误差限 3

1.3 相对误差和相对误差限 3

1.4 有效数字 5

2 算术运算结果的误差 6

2.1 加减法 6

2.2 乘除法 8

3 算法的数值稳定性 9

3.1 算法稳定性问题的例 9

3.2 改善算法稳定性的方法举例 12

习题一 15

第二章 一元非线性方程的数值解法 19

1 初始近似根的确定 19

2 二分法 21

3 迭代法 26

4 牛顿法 33

5 近似牛顿法 37

6 迭代过程的加速 39

习题二 43

第三章 线性代数计算方法 47

1 高斯消去法 47

1.1 顺序消去法 47

1.2 主元素消去法 52

2 高斯-约当消去法 58

3 解实三对角线性方程组的追赶法 61

4 矩阵的三角分解 64

4.1 高斯消去法与矩阵的初等变换 65

4.2 矩阵三角分解的唯一性 67

4.3 LU分解方法 71

4.4 乔累斯基(Cholcsky)分解方法 79

5 迭代法 85

5.1 简单迭代法 85

5.2 赛德尔(Scidc1)迭代法 91

6 方阵的特征值与特征向量 95

6.1 乘？法 95

6.2 QR方法 102

习题三 109

第四章 插值法 114

1 插值问题 114

2 插值多项式的存在唯一性 115

3 拉格朗日插值多项式 116

3.1 拉格朗日插值多项式 116

3.2 拉格朗日插值多项式的余项 120

4 牛顿均差插值多项式 121

4.1 均差 122

4.2 牛顿均差插值多项式 124

5 等距基点插值多项式 130

5.1 有限差 130

5.2 牛顿前差和后差插值多项式 131

6 样条插值 137

6.1 三次样条插值函数的定义 137

6.2 三次样条插值法 137

7 数值微分 145

7.1 用插值法求数值微分 145

7.2 用三次样条函数求数值微分 148

8 曲线拟合法 149

习题四 154

第五章 数值积分 159

1 牛顿-柯特斯公式 159

1.1 牛顿-柯特斯公式 159

1.2 误差估计 164

2 复合求积公式 166

2.1 复合梯形公式 166

2.2 复合辛普生公式 169

2.3 变步长公式 172

3 龙贝格积分方法 174

习题五 182

第六章 常微分方程数值解法 184

1 引言 184

2 欧拉法和改进的欧拉法 185

2.1 欧拉法(折线法) 185

2.2 改进的欧拉法 187

2.3 预估-校正法 189

2.4 误差估计 190

3 龙格-库塔法 193

3.1 泰勒级数展开法 193

3.2 龙格-库塔法 194

4 线性多步法 199

4.1 阿达姆斯(Adams)显式 199

4.2 阿达姆斯隐式 201

4.3 阿达姆斯预测-校正法 203

5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解 206

习题六 210

第七章 最优化方法 213

1 常用的一维寻查方法 213

1.1 0.618分割法(黄金分割法) 214

1.2 寻查区间的确定和初始步长的选取 221

2 最小二乘法 225

2.1 最小二乘法 225

2.2 改进的最小二乘法 231

3 最速下降法 233

3.1 最速下降方向和最速下降法 233

3.2 算法的下降性和最速下降法的收敛速度 236

4 共轭斜量法 240

4.1 二阶收敛性和共轭方向 240

4.2 共轭斜量法 242

4.3 共轭斜量法的计算步骤及框图 247

5 变尺度方法 252

5.1 变尺度方法的基本思想 252

5.2 变尺度方法的近似矩阵H 254

5.3 变尺度方法的计算步骤及框图 257

6 单纯形方法 263

6.1 单纯形方法的基本思想 263

6.2 初始单纯形的构造 265

6.3 单纯形方法的计算步骤及框图 269

习题七 272

参考资料 274