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目录 1

第九章　多元函数微分学 1

第一节　多元函数 1

一、区域 1

二、多元函数的概念 3

三、多元函数的极限 5

四、多元函数的连续性 8

习题9-1 10

第二节　多元函数的偏导数 11

一、偏导数的概念及计算 11

二、高阶偏导数 14

习题9-2 16

第三节　全微分与可微性 17

一、全微分的概念 17

二、连续性与可微性偏导数与可微性 17

三、全微分的几何意义 20

四、全微分在近似计算中的应用 22

五、高阶全微分 23

习题9-3 24

第四节　多元复合函数的求导法则 24

一、链锁法则 24

二、复合函数一阶全微分形式的不变性 27

习题9-4 29

一、一个方程的情形 30

第五节　隐函数的求导公式 30

二、方程组的情形 32

习题9-5 36

第六节　方向导数与梯度 38

一、方向导数 38

二、梯度 40

习题9-6 43

第七节　二元函数的泰勒公式 44

一、皮亚诺余项的泰勒公式 44

二、拉格朗日余项的泰勒公式 46

总习题九 48

习题9-7 48

第十章　多元函数微分学的应用 51

第一节　多元函数微分学的几何应用 51

一、空间曲线的切线与法平面 51

二、曲面的切平面与法线 53

习题10-1 57

第二节　多元函数的极值问题 58

一、多元函数的极值及最大值、最小值 58

二、条件极值拉格朗日乘数法 64

习题10-2 67

总习题十 68

一、二重积分的概念 69

第十一章　重积分 69

第一节　二重积分的概念与性质 69

二、二重积分的性质 71

习题11-1 74

第二节　二重积分的计算法 74

一、利用直角坐标计算二重积分 75

二、利用极坐标计算二重积分 80

三、二重积分的一般变量替换 83

习题11-2 86

第三节　二重积分的应用 88

一、曲面的面积 88

二、薄板的重心 90

三、薄板的转动惯量 91

四、引力 92

习题11-3 93

第四节　三重积分的概念及其计算法 93

一、三重积分的概念 93

二、利用直角坐标计算三重积分 94

三、利用柱面坐标计算三重积分 96

四、利用球面坐标计算三重积分 98

五、三重积分的变量替换 101

习题11-4 102

一、含参变量的定积分 104

第五节　含参变量的积分 104

二、含参变量的广义积分 107

习题11-5 111

总习题十一 112

第十二章 曲线积分与曲面积分 114

第一节　对弧长的曲线积分 114

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 114

二、对弧长的曲线积分的计算方法 115

习题12-1 117

第二节　对坐标的曲线积分 117

一、变力作功与对坐标的曲线积分的定义 117

二、对坐标的曲线积分的计算法 119

三、两类曲线积分的联系 122

习题12-2 123

第三节　曲线积分与路径无关的条件 124

一、格林公式 124

二、平面上曲线积分与路径无关的条件及牛顿—莱布尼兹公式 129

习题12-3 134

第四节　对面积的曲面积分 135

一、对面积的曲面积分的概念 135

二、对面积的曲面积分的计算法 136

习题12-4 138

一、对坐标的曲面积分的概念及性质 139

第五节　对坐标的曲面积分 139

二、对坐标的曲面积分的计算法 142

三、两类曲面积分的联系 144

习题12-5 146

第六节　高斯公式 147

习题12-6 152

第七节　斯托克斯公式 153

习题12-7 157

第八节　空间曲线积分与路径无关的条件 157

习题12-8 159

一、场的概念 160

第九节　场论初步 160

二、向量场的通量与散度 161

三、向量场的环流量与旋度 163

四、算子？ 165

习题12-9 166

总习题十二 167

第十三章　无穷级数 169

第一节　常数项级数的概念及基本性质 169

一、常数项级数的概念 169

二、常数项级数的基本性质及其收敛的必要条件 172

习题13-1 175

一、正项级数部分和有上界判敛法 177

第二节　正项级数敛散性的判别法 177

二、比较判别法及其极限形式 178

三、达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法 181

四、积分判别法 184

五、拉阿伯判别法 185

六、高斯判别法 187

七、斯特林公式的极限形式及其应用 188

习题13-2 188

第三节　任意项级数 190

一、交错级数及其收敛性的莱布尼茨判别法 190

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 192

三、级数的柯西收敛准则 196

习题13-3 198

第四节　函数项级数与幂级数 199

一、函数项级数 199

二、幂级数的收敛半径与收敛域 200

三、幂级数的性质与级数的求和 205

习题13-4 208

第五节　泰勒级数 209

一、泰勒级数 209

二、复合函数的幂级数展开 217

三、泰勒级数的应用 218

习题13-5 223

一、函数项级数的一致收敛性与判别法 224

第六节　函数项级数的一致收敛性 224

二、一致收敛级数的基本性质 225

习题13-6 229

第七节　傅里叶级数 229

一、三角级数 229

二、三角函数系的正交性 230

三、周期为2l的傅里叶级数及其狄利克雷收敛定理 231

四、将只在［0，l］上有定义的函数展成正弦或余弦级数 238

五、傅里叶级数的复数形式与非周期函数的积分展开形式 240

习题13-7 244

总习题十三 245

第十四章　常微分方程 247

第一节　一般概念 247

一、引例 247

二、基本定义 248

习题14-1 250

第二节　一阶微分方程 251

一、可分离变量的微分方程 251

二、齐次微分方程 253

三、一阶线性微分方程 258

习题14-2 262

一、y（n）＝f（x）型的微分方程（类型1） 263

第三节　高阶微分方程的可降阶类型 263

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程（类型2） 265

三、y″=f（y，y′）型的微分方程（类型3） 267

习题14-3 268

第四节　高阶线性微分方程及其解的结构 269

一、n阶线性微分方程通解的结构 269

二、二阶线性微分方程的一些重要定理 272

习题14-4 273

第五节　常系数线性微分方程 274

一、二阶常系数线性方程的实例 274

二、二阶常系数线性齐次方程通解的求法 276

四、二阶常系数线性非齐次方程 278

三、n阶常系数线性齐次方程通解的求法 278

五、应用问题举例 285

六、欧拉方程 287

习题14-5 289

第六节　微分方程的有关补充知识 290

一、全微分方程与积分因子 290

二、二阶线性非齐次微分方程解的一般公式 293

三、常系数线性微分方程组求解举例 295

习题14-6 302

总习题十四 303

习题答案与提示 304