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第1章 算法及误差分析 1

1.1 算法简介 1

1.1.1 数值分析的研究对象 1

1.1.2 算法的基本特点 1

1.2 误差分析 5

1.2.1 误差的来源 5

1.2.2 误差的基本概念 6

习题1 7

2.1.1 一元非线性方程求根 8

2.1 引言 8

第2章 非线性方程的数值解法 8

2.1.2 求根的精确化方法 10

2.2 二分法 10

2.2.1 基本二分法 10

2.2.2 二分法算法设计 12

2.3 迭代法 13

2.3.1 简单迭代法 13

2.3.2 加速迭代公式 17

2.3.3 牛顿(Newton)迭代法 19

2.4.2 收敛性判别条件 22

2.4 迭代法收敛性分析 22

2.4.1 收敛性定义 22

2.4.3 收敛阶(速度)及其判定 26

2.5 Newton迭代法的应用 29

2.5.1 求重根和复根 29

2.5.2 Newton下降法 30

习题2 31

3.1.1 线性方程组的分类 33

3.1.2 线性方程组的矩阵形式 33

3.1 引言 33

第3章 线性方程组的直接解法 33

3.1.3 线性方程组解的存在惟一性 34

3.1.4 线性方程组的解法 34

3.2 高斯(Gauss)消元法 35

3.2.1 Gauss顺序消元法 35

3.2.2 Gauss顺序消元法的条件 40

3.3 选主元的Gauss消元法 41

3.3.1 Gauss列主元消元法 41

3.3.2 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法 45

3.4 矩阵的三角分解 47

3.4.1 初等变换矩阵 48

3.4.2 矩阵的LU分解定理 50

3.4.3 LU分解算法 53

3.5 追赶法 59

3.5.1 三对角阵的克劳特(Crout)分解 59

3.5.2 追赶法(利用Crout分解解线性方程组) 60

3.5.3 追赶法求解公式的推导 62

习题3 64

4.1 向量范数与矩阵范数 66

4.1.1 向量范数 66

第4章 线性方程组的迭代解法 66

4.1.2 向量序列的收敛性 67

4.1.3 矩阵范数 68

4.1.4 矩阵的特征值上界 69

4.1.5 矩阵序列的收敛性 70

4.2 迭代法 71

4.2.1 问题的提出 71

4.2.2 雅可比(Jacobi)迭代法 71

4.2.3 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 75

4.2.4 迭代公式归纳 78

4.3.1 迭代法收敛的充要条件 79

4.3 迭代法的收敛性 79

4.3.2 迭代法收敛的充分条件(一) 80

4.3.3 迭代法收敛的充分条件(二) 82

4.3.4 迭代法收敛性判别归纳 87

4.4 逐次超松驰方法(SOR方法) 87

4.4.1 SOR公式 87

4.4.2 SOR公式的矩阵形式 88

4.4.3 SOR方法的计算表格 89

4.4.4 SOR方法的收敛性 90

习题4 91

5.1 预备知识(矩阵的特征值和特征向量) 93

第5章 矩阵的特征值和特征向量的计算 93

5.2 幂法与反幂法 94

5.2.1 基本幂法 94

5.2.2 规范化幂法 95

5.2.3 原点平移法 97

5.2.4 反幂法 100

5.2.5 幂法与反幂法小结 102

习题5 104

6.1.2 插值多项式的存在惟一性 105

6.1.1 插值问题 105

6.1 一元代数函数插值 105

第6章 插值法与曲线拟合 105

6.2 拉格朗日(Lagrange)插值方法 106

6.2.1 插值基函数 106

6.2.2 Lagrange插值多项式 107

6.2.3 Ln(x)的两种表达式 107

6.2.4 插值应用举例 108

6.2.5 插值余项 110

6.2.6 Lagrange插值方法评价 111

6.3.2 Newton均差插值多项式 112

6.3.1 均差与均差表 112

6.3 Newton均差插值方法 112

6.3.3 均差的性质 116

6.4 埃尔米特(Hermite)插值方法 118

6.4.1 Hermite插值多项式 118

6.4.2 两点三次Hermite插值公式 119

6.4.3 分段低阶插值 121

6.5 三次样条插值方法 122

6.5.1 三次样条插值函数 123

6.5.2 三次样条插值函数的构成 123

6.5.3 第一边界条件下样条插值算法 126

6.6 曲线拟合 128

6.6.1 问题的提出 128

6.6.2 实例分析 129

6.6.3 超定方程组的最小二乘解 135

6.6.4 多项式拟合的一般步骤 136

6.6.5 曲线化直 137

习题6 138

7.1.2 数值求积公式 141

7.1.1 关于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式 141

7.1 数值求积公式 141

第7章 数值积分 141

7.1.3 插值型求积公式 142

7.1.4 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 143

7.2 数值求积公式的代数精度 145

7.2.1 代数精度的概念 145

7.2.2 插值型求积公式余项估计 147

7.3 复化求积公式 148

7.3.1 复化梯形公式 148

7.3.2 复化Simpson公式 149

7.3.3 复化Cotes公式 149

7.3.4 小结 151

7.4.1 变步长梯形方法(逐次半分法) 152

7.4 龙贝格(Romberg)求积方法 152

7.4.2 Romberg方法(逐次半分加速法) 154

7.4.3 Romberg算法设计 155

7.5 Gauss型求积公式 157

7.5.1 两点Gauss公式 157

7.5.2 正交多项式 158

7.5.3 常用的Gauss型求积公式 160

习题7 164

8.1.1 一阶常微分方程的初值问题 166

第8章 常微分方程初值问题的数值解法 166

8.1 初值问题与数值解 166

8.1.2 数值解与数值解法 168

8.2 欧拉(Euler)公式与梯形公式 169

8.2.1 Euler公式(显式与隐式) 169

8.2.2 两步Euler公式(Euler中点公式) 170

8.2.3 梯形公式 170

8.3 Euler方法及其改进方法 171

8.3.1 Euler方法 171

8.3.2 改进的Euler方法 175

8.4 单步方法的截断误差与阶 177

8.5 尤格-库塔(Runge-Kutta)方法 179

8.5.1 Runge-Kutta(简称R-K)方法的基本思路 179

8.5.2 二阶R-K公式 180

8.5.3 四阶R-K公式 182

8.6 一阶常微分方程组初值问题的数值解法 184

8.6.1 一阶常微分方程组的初值问题 184

8.6.2 一阶常微分方程组的数值解法 184

8.7 高阶方程初值问题的数值方法 187

8.8.1 引言 190

8.8 单步法的收敛性和稳定性 190

8.8.2 单步方法的收敛性 191

8.8.3 单步方法的稳定性 192

习题8 194

附录Ⅰ Matlab及其应用 195

1.1 Matlab简介 195

1.2 最优化方法计算 203

1.3 数据分析 211

1.4 数值分析常用算法 219

附录Ⅱ 习题详解及参考答案 231