实用数学手册 第2版PDF电子书下载

1.1.2　数的基本运算规律 1

1.1.3　指数 1

1．初等代数 1

§1.1　代数运算 1

1.1.1　数系 1

1.1.5　复数 2

1.1.4　对数 2

1.1.7　分式 4

1.1.6　乘法与因式分解公式 4

1.1.8　比例 6

1.1.10　不等式 7

1.1.9　根式 7

1.2.1　等差数列 8

§1.2　数列 8

1.2.4　常用的求和公式 9

1.2.3　等比级数 9

1.2.2　等比数列 9

1.3.2　组合 10

1.3.1　排列 10

§1.3　排列、组合与二项式定理 10

1.4.1　一元多项式的运算 11

§1.4　一元多项式 11

1.3.3　二项式定理 11

1.4.2　整除 12

1.4.3　最大公因式 13

1.4.4　因式分解定理 14

1.5.1　二阶、三阶行列式 15

§1.5　二阶、三阶行列式与代数方程 15

1.5.4　一元三次方程 16

1.5.3　一元二次方程 16

1.5.2　三元一次方程组的解法 16

1.5.6　根与系数的关系 17

1.5.5　一元四次方程 17

2.1.1　直线　角 19

§2.1　平面几何 19

2．初等几何 19

2.1.2　三角形 20

2.1.3　四边形 21

2.1.4　正多边形 22

2.1.5　圆 23

2.2.1　直线与平面 24

§2.2　立体几何 24

2.2.2　多面体 26

2.2.3　旋转体 28

2.3.1　命题　命题之间的关系 30

§2.3　证题法概述 30

2.2.4　立体角 30

2.3.2　证明方法 31

3.1.2　三角函数的定义和基本关系 35

3.1.1　角的两种度量制 35

3．三角学 35

§3.1　平面三角 35

3.1.3　三角函数的诱导公式　三角函数的图形与特性 37

3.1.4　两角和的三角函数公式　倍角公式与半角公式 42

3.1.5　三角函数的和差与积的关系式 43

3.1.6　三角形基本定理 44

3.1.8　三角形面积公式 45

3.1.7　斜三角形解法 45

3.1.9　反三角函数 46

3.1.10　三角方程 48

3.2.1　球面角球面二角形球面三角形 51

§3.2　球面三角 51

3.2.3　球面三角形的计算公式 52

3.2.2　球面三角形的性质 52

3.2.4　球面直角三角形解法 54

3.2.5　球面斜角三角形解法 55

4.1.1　笛卡儿直角坐标系 56

§4.1　笛卡儿直角坐标系 56

4．解析几何 56

4.1.2　两点间的距离 57

4.1.3　分线段为定比的分点的坐标 58

4.1.4　坐标变换 59

4.2.1　基本概念 60

§4.2　曲线方程与曲面方程 60

4.2.3　交点与交线 61

4.2.2　曲线的参数方程 61

4.3.1　平面上的直线方程 62

§4.3　平面上的直线 62

4.3.3　两直线的夹角及平行、垂直条件 63

4.3.2　点到直线的距离　直线的法方程 63

4.1.1　圆 64

§4.4　二次曲线 64

4.3.4　直线束　三直线共点的条件 64

4.4.2　椭圆 65

4.4.3　双曲线 66

4.4.4　抛物线 67

4.4.5　圆锥曲线 68

4.4.6　一般二次曲线 71

§4.5　常用的平面曲线 73

4.6.1　平面方程 77

§4.6　平面、空间中的直线 77

4.6.2　点到平面的距离　平面的法方程 78

4.6.4　直线、平面的相互位置 79

4.6.3　空间中的直线方程 79

4.7.1　球面 82

§4.7　二次曲面 82

4.7.2　椭球面 83

4.7.3　双曲面 84

4.7.5　柱面 85

4.7.4　抛物面 85

4.7.7　一般二次曲面 87

4.7.6　锥面 87

5.1.1　n阶行列式的定义 92

§5.1　行列式 92

5．线性代数 92

5.1.2　行列式的性质 93

5.1.3　行列式的计算 95

5.1.4　拉普拉斯展开　行列式的乘法公式 96

5.1.5　范德蒙德行列式与格拉姆行列式 97

5.1.6　连加号∑与连乘号∏ 98

5.2.1　n维向量空间 99

§5.2　矩阵 99

5.2.2　向量组的线性关系 100

5.2.3　矩阵及矩阵的秩 101

5.2.4　矩阵的运算 102

5.2.6　矩阵的分块　初等矩阵 105

5.2.5　矩阵的逆 105

5.2.7　几种特殊的矩阵 107

5.3.1　含n个未知量、n个方程的线性方程组 109

§5.3　线性方程组 109

5.3.2　一般线性方程组 110

5.4.2　线性子空间 114

5.4.1　线性空间的维数　基与坐标 114

§5.4　线性空间 114

5.5.1　线性变换的定义与运算 115

§5.5　线性变换 115

5.4.3　子空间的交、和、直和 115

5.5.2　线性变换的矩阵 116

5.5.3　本征值与本征向量 117

5.6.1　最小多项式 120

§5.6　若尔当典范形 120

5.6.2　λ矩阵的典范形 121

5.6.4　若尔当典范形 122

5.6.3　不变因子与初等因子 122

5.7.1　二次型及其矩阵表示 123

§5.7　二次型 123

5.7.3　二次型的惯性指数 124

5.7.2　标准形 124

5.7.4　正（负）定二次型 125

5.8.2　规范正交基 126

5.8.1　度量矩阵 126

§5.8　欧几里得空间 126

5.8.3　正交变换与对称变换 127

5.8.4　实对称矩阵的对角化 128

5.8.5　酉空间 129

6.1.1　实数 130

§6.1　分析基础 130

6．微积分 130

6.1.2　数列的极限 132

6.1.3　函数 136

6.1.4　函数的极限 140

6.1.5　无穷小、无穷大的比较 142

6.1.6　函数的连续性 143

6.1.7　Rn中的点集 144

6.1.8　n元函数的极限 145

6.1.9　n元函数的连续性 146

6.2.1　函数的导数与微分 147

§6.2　微分学 147

6.2.2　多元函数的偏导数与全微分 151

6.2.3　隐函数 155

6.2.4　微分学基本定理 160

6.3.1　单元函数微分学的应用 164

§6.3　微分学的应用 164

6.3.2　多元函数微分学的应用 167

6.4.1　基本概念与性质 171

§6.4　不定积分 171

6.4.2　积分法 172

6.4.3　原函数可表为有限形式的几类函数 177

6.4.4　不定积分表 181

6.5.1　定积分的定义 192

§6.5　定积分 192

6.5.3　定积分的性质 193

6.5.2　可积函数类 193

6.5.4　定积分的中值定理 194

6.5.6　定积分的计算 195

6.5.5　微积分学基本定理 195

6.6.1　二重积分 196

§6.6　重积分 196

6.6.2　三重积分 198

6.6.3　n重积分 201

6.7.1　平面图形的面积 202

§6.7　定积分与重积分的应用 202

6.7.2　曲面的面积 203

6.7.4　弧长 204

6.7.3　体积 204

6.7.6　重心 205

6.7.5　质量 205

6.8.1　有界变差函数 206

§6.8　斯蒂尔切斯积分 206

6.7.7　转动惯量 206

6.8.3　斯蒂尔切斯积分的定义 208

6.8.2　可求长曲线 208

6.8.5　斯蒂尔切斯积分的性质 209

6.8.4　斯蒂尔切斯积分存在的条件 209

6.9.1　第一型曲线积分 211

§6.9　曲线积分与曲面积分 211

6.8.6　斯蒂尔切斯积分的计算 211

6.9.2　第二型曲线积分 213

6.9.3　第一型曲面积分 216

6.9.4　第二型曲面积分 218

6.10.1　数项级数与无穷乘积 222

§6.10　级数 222

6.10.2　函数项级数 228

6.10.3　幂级数 232

6.10.4　傅里叶级数 236

6.11.1　无穷限的广义积分 242

§6.11　广义积分 242

6.11.2　无界函数的广义积分 243

6.11.3　常用的广义积分公式 245

6.12.1　含参变量的常义积分 246

§6.12　含参变量积分 246

6.12.3　由含参变量广义积分所确定的函数 247

6.12.2　含参变量广义积分的一致收敛性 247

6.12.4　常用的含参变量积分公式 248

6.13.2　魏尔斯特拉斯定理 249

6.13.1　引论 249

§6.13　数值逼近 249

6.13.4　切比雪夫多项式 250

6.13.3　最佳一致逼近多项式 250

6.13.5　切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 251

6.13.6　线性内积空间的最佳逼近 253

6.13.7　函数的最佳平方逼近 254

6.13.8　正交多项式 255

6.13.9　用勒让德多项式作平方逼近 256

6.13.10　函数按切比雪夫多项式展开 257

7.1.2　复平面上的点集　区域 258

7.1.1　复平面上曲线的方程 258

7．复变函数 258

§7.1　复平面 258

7.1.3　扩充复平面 260

7.2.2　复变函数的极限与连续性 261

7.2.1　复变函数 261

§7.2　复变函数 261

7.2.3　复数序列与复数项级数 262

7.2.4　复函数序列与复函数项级数 263

7.3.1　复变函数的导数 264

§7.3　全纯函数　柯西-黎曼方程 264

7.3.2　共轭调和函数 265

7.3.4　多值函数　黎曼面 266

7.3.3　单叶函数及其反函数 266

7.4.2　指数函数 268

7.4.1　有理函数 268

§7.4　初等复函数 268

7.4.4　对数函数　幂函数 269

7.4.3　三角函数　双曲函数 269

7.5.1　复积分的定义与简单性质 270

§7.5　复积分　柯西积分定理与柯西积分公式 270

7.4.5　反三角函数 270

7.4.6　初等复函数 270

7.5.2　柯西积分定理 272

7.5.3　柯西积分公式 273

7.6.1　复幂级数 274

§7.6　全纯函数的级数表示 274

7.5.4　柯西型积分 274

7.6.2　泰勒展开式 275

7.6.3　常用的泰勒展开式 276

7.6.4　洛朗展开式 278

7.7.1　孤立奇点及其分类 279

§7.7　孤立奇点与留数 279

7.7.2　解析函数在无穷远点的性态 280

7.7.3　留数　留数定理 281

7.7.4　利用留数计算定积分 282

7.7.5　辐角原理 283

7.8.1　亚纯函数 284

§7.8　亚纯函数　整函数 284

7.8.2　亚纯函数的部分分式展开 285

7.8.3　整函数的无穷乘积展开 286

7.9.2　解析延拓 287

7.9.1　解析函数元素 287

§7.9　解析延拓 287

7.10.2　分式线性映射 289

7.10.1　全纯函数与共形映射 289

§7.10　共形映射 289

7.10.4　对称原理　上半平面映射为多角形 290

7.10.3　某些初等函数的映射特性 290

7.10.5　黎曼映射定理　边界对应 291

7.10.6　常用共形映射表 293

§7.11　解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用 295

§7.12　解析函数在流体力学中的应用 296

§7.13　解析函数在电磁学与热学中的应用 298

§7.14　解析函数在平面弹性理论中的应用 299

8.1.2　有关方程的解的概念 301

8.1.1　有关常微分方程的概念 301

8．常微分方程与动力系统 301

§8.1　一般概念 301

8.2.1　存在和唯一性定理 302

§8.2　一阶微分方程 302

8.2.2　一阶微分方程的若干可积类型及其通解 303

8.2.3　奇解及其求法 308

8.3.1　n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化 309

§8.3　高阶微分方程 309

8.3.3　高阶微分方程的若干可积类型及其通解 310

8.3.2　存在和唯一性定理 310

8.4.1　朗斯基行列式 312

§8.4　高阶线性微分方程 312

8.4.2　线性微分方程解的结构 313

8.4.3　常系数线性微分方程 315

8.4.5　二阶齐次线性微分方程解的定性性质 318

8.4.4　欧拉方程 318

8.4.6　二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 319

8.5.1　线性微分方程组解的结构 321

§8.5　线性微分方程组 321

8.5.2　常系数线性微分方程组 322

8.6.1　微分方程的解对初值的连续相依性与可微性 325

§8.6　动力系统与稳定性理论初步 325

8.6.3　动力系统的一般概念 326

8.6.2　解对参数的连续相依性与可微性 326

8.6.4　二维定常系统的极限环 328

8.6.5　二维常系数线性微分方程组的奇点 329

8.6.6　李雅普诺夫稳定性的基本概念 332

8.6.7　稳定性与不稳定性的基本定理 333

8.6.8　齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性 334

8.7.1　机械系统的振动 335

§8.7　微分方程在力学、电学中的应用 335

8.6.9　结构稳定性 335

8.7.2　简单电路 338

8.8.2　线性差分方程 340

8.8.1　一般概念 340

§8.8　差分方程 340

8.8.3　例 341

8.9.1　连续系统的分岔 342

§8.9　分岔与混沌 342

8.9.2　霍普夫分岔定理 343

8.9.4　混沌概念 344

8.9.3　离散系统的分岔 344

8.9.5　混沌的数值特征 345

§9.1　一般概念 347

9．偏微分方程论 347

9.2.1　一阶线性偏微分方程 348

§9.2　一阶偏微分方程 348

9.2.2　一阶拟线性偏微分方程 349

9.2.3　一阶非线性偏微分方程 351

9.3.2　两个自变量的一阶线性方程组的分类 354

9.3.1　特征方程　特征方向　特征曲线 354

§9.3　一阶线性偏微分方程组 354

9.3.3　狭义双曲型方程组 355

9.4.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类 357

§9.4　二阶线性偏微分方程的分类 357

§9.5　三类典型的二阶线性偏微分方程 358

9.4.2　n个自变量的二阶线性方程的分类 358

9.5.1　一维波动方程与定解条件的提法 359

9.5.2　高维波动方程 360

9.5.3　热传导方程 362

9.5.4　拉普拉斯方程和泊松方程 364

9.6.1　线性齐次方程和齐次边界条件 366

§9.6　偏微分方程的分离变量法 366

9.6.2　线性非齐次方程和齐次边界条件 369

9.6.3　齐次化原理 370

9.6.4　非齐次边界条件的处理 372

9.7.2　利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题 373

9.7.1　格林函数及其性质 373

§9.7　拉普拉斯方程的格林函数法 373

9.8.1　单层位势　双层位势 377

§9.8　拉普拉斯方程的位势方法 377

9.7.3　利用格林函数解泊松方程的第一边值问题 377

9.8.2　用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题 380

§9.9　偏微分方程的积分变换法 382

9.10.1　δ函数及其性质 384

§9.10　δ函数和基本解 384

9.10.2　基本解 385

9.11.1　一维波动方程的定解问题的适定性 389

§9.11　定解问题的适定性 389

9.11.3　一维热传导方程定解问题的适定性 391

9.11.2　调和函数的极值原理　狄利克雷问题的适定性 391

9.12.1　偏导数与差商 392

§9.12　偏微分方程的差分解法 392

9.11.4　柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 392

9.12.2　拉普拉斯方程的差分解法 393

9.12.3　热传导方程的差分解法 396

9.12.4　波动方程的差分解法 397

10.1.1　平面曲线的方程　切线与法线 399

§10.1　平面曲线 399

10．微分几何 399

10.1.2　平面曲线的曲率 401

10.1.3　平面曲线族的包络线 402

10.1.4　平面曲线的整体性质 403

10.2.1　空间曲线的切向量、主法向量与副法向量 曲率与挠率 405

§10.2　空间曲线 405

10.2.2　弗雷内公式　曲线在一点邻近的性态 407

10.2.3　空间曲线论的基本定理 408

10.3.1　曲面的参数表示 409

§10.3　曲面的参数表示 409

10.3.3　常用的曲面 410

10.3.2　曲面的切平面与法向量 410

10.4.1　第一基本型 413

§10.4　曲面的第一、第二基本型 413

10.4.2　等距对应　共形对应 414

10.4.3　第二基本型 416

10.4.4　迪潘标形　共轭方向　渐近方向 417

10.5.1　法曲率 418

§10.5　曲面上的曲率 418

10.5.2　主曲率 419

10.5.3　中曲率　全曲率 420

10.6.1　曲面的球面表示 421

§10.6　曲面的球面表示　第三基本型 421

10.7.1　直纹曲面与可展曲面的构造 422

§10.7　直纹曲面　可展曲面 422

10.6.2　第三基本型 422

10.7.2　直纹曲面与可展曲面的性质 424

10.8.1　曲面的基本公式 425

§10.8　曲面论的基本定理 425

10.9.1　测地曲率 426

§10.9　测地曲率　测地线 426

10.8.2　曲面论的基本定理 426

10.9.2　测地线 427

§10.10　曲面上向量的平行移动 428

10.9.4　测地挠率 428

10.9.3　测地坐标系 428

§10.11　曲面的一些整体性质 429

§11.1　一般概念 431

11．积分方程 431

§11.2　弗雷德霍姆定理 433

11.3.2　退化核的积分方程的解法 434

11.3.1　退化核 434

§11.3　退化核的积分方程 434

11.4.2　叠核和预解核 436

11.4.1　逐次逼近法 436

§11.4　逐次逼近法　叠核和预解核 436

§11.5　对于任何λ的弗雷德霍姆方程 437

11.6.1　对称核方程的特征值和特征函数 438

§11.6　对称核 438

11.6.2　对称核按特征函数系的展开式 439

11.6.4　埃尔米特核和斜对称核 440

11.6.3　对称核的分类　默塞尔定理 440

11.7.1　核为？型的积分方程 441

§11.7　？型无界核　奇异积分方程 441

11.7.2　奇异积分方程 442

11.8.1　第二类沃尔泰拉积分方程和方程组 443

§11.8　沃尔泰拉方程 443

11.8.2　特殊形式的沃尔泰拉方程 444

11.8.3　第一类沃尔泰拉积分方程　阿贝尔方程 445

11.9.1　数值积分方法 446

§11.9　积分方程的近似解法 446

11.9.4　变分方法 447

11.9.3　迭代法 447

11.9.2　近似核方法 447

§12.1　一般概念 448

12．变分法 448

12.2.1　最简单的变分问题　欧拉方程 449

§12.2　固定边界的变分问题 449

12.2.3　含高阶导数的泛函 451

12.2.2　含多个未知函数的泛函 451

12.2.4　多元函数的泛函 452

12.2.5　用参数形式表示的泛函 453

12.3.1　平稳曲线场与雅可比条件 454

§12.3　泛函极值的充分条件 454

12.4.1　？F（x,y,y′）dx型泛函 455

§12.4　可动边界的变分问题 455

12.3.2　泛函 J［y（x）］＝？F（x,y,y′）dx极值的充分条件 455

12.4.2 ？F（x,y,z,y′，z′）dx型泛函 456

12.5.1　泛函在约束条件？（x,y1,y2，…，yn）＝0（i＝1,2，…，m,m＜n）下的变分问题 457

§12.5　条件变分问题 457

12.4.3 ？F（x,y,y′，y″）dx型泛函 457

12.5.2　泛函在约束条件？（x,y1,y2，…，yn,y′1,y′2，…，y′n）dx＝li（i＝1,2，…，m）下的变分问题 458

12.6.1　直接法和极小化序列 459

§12.6　变分问题的直接法 459

12.6.2　里兹法 460

12.6.3　欧拉有限差分法 461

12.6.4　康托罗维奇法 462

12.7.2　最小势能原理 463

12.7.1　哈密顿原理 463

§12.7　力学中的变分原理 463

12.7.3　变分法和数学物理微分方程 464

13.1.1　事件 465

§13.1　基本概念 465

13．概率论 465

13.1.3　概率空间 466

13.1.2　古典概型 466

13.1.4　条件概率 468

13.2.1　随机变量与分布函数的定义 469

§13.2　一维随机变量及其分布 469

13.2.3　几种重要的离散型分布 470

13.2.2　离散型随机变量的概率分布 470

13.2.5　几种重要的连续型分布 472

13.2.4　连续型随机变量的概率密度 472

13.2.6　随机变量的函数 474

13.3.1　多维随机变量与分布函数 476

§13.3　多维随机变量及其分布 476

13.3.2　边际分布 478

13.3.3　条件分布 479

13.3.4　随机变量的相互独立性 480

13.3.5　随机向量的函数 481

13.3.6　几种重要的随机向量函数的分布 483

13.3.7　随机向量的变换 485

13.4.1　数学期望 487

§13.4　一维随机变量的数字特征 487

13.4.2　随机变量函数的数学期望 488

13.4.3　方差 489

13.5.2　协方差矩阵　相关系数 490

13.5.1　一般概念 490

§13.5　随机向量的数字特征 490

13.5.3　条件数学期望 492

13.6.1　母函数 493

§13.6　母函数与特征函数 493

13.6.2　特征函数的定义及性质 495

13.6.4　分布函数列的弱收敛 496

13.6.3　逆转公式及唯一性定理 496

13.6.6　博赫纳-辛钦定理 497

13.6.5　连续性定理 497

13.6.7　n维随机向量的特征函数 498

13.8.1　随机变量的收敛性 499

§13.8　极限定理 499

§13.7　常用分布简表 499

13.8.2　大数定律 504

13.8.4　中心极限定理 505

13.8.3　加强的大数定律 505

数值表1　泊松分布P（ξ＝k）＝？-λ的数值表 507

附录 507

数值表2 φ1（x）＝？dt数值表（x≥0） 509

数值表3　x2分布表 512

数值表4　t分布表 514

14.1.2　集的运算 516

14.1.1　集 516

14．近代数学选题 516

§14.1　集论 516

14.1.4　关系 518

14.1.3　集的关系与运算的图形表示 518

14.1.5　映射 519

14.1.7　等价关系与商集 520

14.1.6　积集与幂集 520

14.1.9　选择公理及其等价命题 521

14.1.8　偏序关系 521

14.1.11　布尔代数 522

14.1.10　基数 522

14.1.12　命题代数　开关代数 523

14.2.1　半群 524

§14.2　代数结构 524

14.2.2　群 525

14.2.4　循环群　有限群 526

14.2.3　正规子群　商群 526

14.2.6　理想　商环 527

14.2.5　环 527

14.2.8　模　向量空间　代数 528

14.2.7　域 528

14.3.2　度量空间中的开集和闭集 530

14.3.1　度量空间 530

§14.3　拓扑空间 530

14.3.3　度量空间到度量空间的连续映射 531

14.3.4　完全度量空间 532

14.3.5　拓扑空间 533

14.3.8　积拓扑空间 534

14.3.7　分离性 534

14.3.6　拓扑空间到拓扑空间的连续映射　同胚 534

14.3.9　商拓扑空间 535

14.3.11　紧性 536

14.3.10　连通性 536

14.4.1　勒贝格外测度 537

§14.4　勒贝格积分 537

14.3.12　可度量化拓扑空间 537

14.4.3　勒贝格可测函数 538

14.4.2　勒贝格测度 538

14.4.4　依测度收敛性 539

14.4.5　勒贝格积分 540

14.4.6　勒贝格积分的性质 541

14.4.7　绝对连续函数 542

14.4.8　重积分与累次积分 543

14.5.1　巴拿赫空间的定义与例 544

§14.5　泛函分析 544

14.5.2　连续线性算子　对偶空间 546

14.5.4　线性泛函分析的基本定理 547

14.5.3　巴拿赫空间中的收敛性 547

14.5.6　希尔伯特空间的定义与例 548

14.5.5　巴拿赫空间之间连续映射的导数 548

14.5.7　正交投影 549

14.5.8　伴随算子 550

14.5.9　正交系 551

14.5.10　谱 552

14.5.12　广义函数的定义与例 553

14.5.11　紧算子的谱分析 553

14.5.13　广义函数的导数 554

14.5.14　广义函数的卷积与傅里叶变换 556

14.6.1　微分流形的定义与例 558

§14.6　微分流形 558

14.6.2　可微映射　微分同胚 559

14.6.4　余切空间 560

14.6.3　切空间 560

14.6.5　微分流形之间的映射的微分与切变换 561

14.6.6　微分子流形 562

14.6.8　向量场　泊松括号积 563

14.6.7　定向流形 563

14.6.9　张量场　微分形式 564

14.6.11　斯托克斯公式 565

14.6.10　外微分 565

14.6.12　黎曼流形 566

15.1.1　向量及其运算 568

§15.1 向量代数 568

15．向量分析　张量分析 568

15.1.2　向量的坐标 569

15.1.3　向量的数量积 570

15.1.4　向量的向量积 571

15.2.1　单元向量函数的微分法 573

§15.2　向量函数的微积分 573

15.2.3　多元向量函数的微积分 574

15.2.2　单元向量函数的积分法 574

15.3.2　数量场的梯度 575

15.3.1　场 575

§15.3　数量场 575

15.3.3　哈密顿算子 576

15.4.1　向量场的散度 577

§15.4　向量场 577

15.4.2　向量场的旋度 578

15.4.4　几种特殊的向量场 579

15.4.3　场论基本定理 579

15.5.1　正交曲线坐标系 580

§15.5　场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 580

15.5.2　场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 581

15.6.1　质点运动的速度与加速度 583

§15.6　向量分析在运动学中的应用 583

15.6.3　质点的相对运动 584

15.6.2　刚体的运动 584

15.7.1　牛顿第二定律与达朗贝尔原理 585

§15.7　向量分析在动力学中的应用 585

15.7.3　动量矩定理 586

15.7.2　动量定理 586

15.7.4　动能定理 587

15.8.2　安培-比奥-萨瓦定律与安培定理 588

15.8.1　库伦定律与高斯定理 588

§15.8　向量分析在电磁学中的应用 588

15.8.3　法拉第电磁感应定律　麦克斯韦方程组 589

15.9.1　张量概念 590

§15.9　张量 590

15.9.2　张量的分量 591

15.9.3　张量的运算 592

15.9.4　外代数 593

15.10.2　共变微分 594

15.10.1　仿射联络 594

§15.10　共变微分 594

15.11.1　黎曼联络 596

§15.11　黎曼空间中的张量分析 596

15.10.3　曲率张量与挠率张量 596

15.11.3　曲率张量的性质 597

15.11.2　各种算子的表示式 597

15.11.4　平行移动　测地线 598

15.12.1　质点的自由运动 599

§15.12　张量分析在离散质点系力学中的应用 599

15.12.2　质点的约束运动 600

15.13.1　应力张量 601

§15.13　张量分析在连续介质力学中的应用 601

15.12.3　质点系的约束运动 601

15.13.3　平衡方程与运动方程 602

15.13.2　应变张量 602

15.14.1　狭义相对论 603

§15.14　张量分析在相对论中的应用 603

15.14.2　广义相对论 604

16.1.1　傅里叶积分 606

§16.1　傅里叶积分与傅里叶变换 606

16．积分变换 606

16.1.2　傅里叶变换概念 607

16.1.3　傅里叶变换的性质 609

16.1.4　卷积与相关函数 610

16.1.5　多重傅里叶变换 611

§16.2　傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 613

§16.3　傅里叶核 615

16.4.1　有限正弦变换与有限余弦变换的定义　反演公式 617

§16.4　有限傅里叶变换 617

16.4.3　用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例 618

16.4.2　函数的导数的有限傅里叶变换公式 618

16.4.4　多重有限傅里叶变换 619

16.5.1　波形采样 622

§16.5　离散傅里叶变换 622

16.5.2　离散傅里叶变换对 624

16.5.4　离散傅里叶变换的性质 627

16.5.3　离散卷积与离散相关 627

16.6.1　矩阵方程与快速傅里叶变换算法 628

§16.6　快速傅里叶变换 628

16.6.2　信号流程图 631

16.7.1　拉普拉斯变换概念 632

§16.7　拉普拉斯变换 632

16.7.2　拉普拉斯变换的性质 633

16.7.3　卷积与杜阿梅尔公式 635

16.7.4　拉普拉斯逆变换 636

16.7.5　拉普拉斯变换在解微分方程上的应用 637

16.7.6　二重拉普拉斯变换 638

16.8.2　汉克尔变换性质 639

16.8.1　汉克尔变换 639

§16.8　汉克尔变换有　限汉克尔变换 639

16.9.1　梅林变换 640

§16.9　梅林变换　希尔伯特变换 640

16.8.3　有限汉克尔变换 640

16.9.2　希尔伯特变换 641

16.10.1　傅里叶变换简表 642

§16.10　积分变换简表 642

16.10.2　傅里叶余弦变换简表 644

16.10.3　傅里叶正弦变换简表 645

16.10.4　有限傅里叶余弦变换简表 646

16.10.5　有限傅里叶正弦变换简表 647

16.10.6　拉普拉斯变换简表 648

16.10.7　汉克尔变换简表 651

16.10.8　梅林变换简表 653

16.10.9　希尔伯特变换简表 655

17.1.1　г函数定义与递推关系 656

§17.1　г函数 656

17．特殊函数 656

17.1.2　г函数的无穷乘积表达式　г函数与三角函数的关系 657

17.1.4　比内公式　渐近展开　斯特林公式 658

17.1.3　г函数的积分表达式 658

17.1.5　г函数的对数微商　多г函数　不完全г函数 659

§17.2　B函数 660

§17.3　误差函数　菲涅尔积分 661

§17.4　指数积分　对数积分　正弦积分　余弦积分 662

17.5.1　勒让德方程与勒让德函数 663

§17.5　勒让德函数　勒让德多项式 663

17.5.2　勒让德多项式的定义　微商表示与积分表示 665

17.5.4　Pn（x）的正交性　傅里叶-勒让德级数 667

17.5.3　Pn（z）的母函数　Pn（z）的递推公式 667

17.5.5　第二类勒让德函数 668

17.5.6　连带勒让德函数及其递推公式 669

17.5.7　P？（x）的正交性　按｛P？（x）｝？＝m展开 670

17.5.8　n阶球面调和函数及其正交性 671

17.6.2　第一类贝塞尔函数及其递推公式 673

17.6.1　贝塞尔方程与贝塞尔函数 673

§17.6　贝塞尔函数 673

17.6.4　J？（z）的积分表示　整数阶的贝塞尔函数的母函数 675

17.6.3　半奇数阶贝塞尔函数 675

17.6.6　贝塞尔函数的正交性　傅里叶-贝塞尔级数 677

17.6.5　J？（z）的零点 677

17.6.7　第二类贝塞尔函数 678

17.6.9　修正贝塞尔函数 680

17.6.8　第三类贝塞尔函数 680

17.6.11　球贝塞尔函数 682

17.6.10　开耳芬函数 682

17.6.12　各类贝塞尔函数的渐近展开式 683

§17.7　埃尔米特函数与埃尔米特多项式 684

§17.8　拉盖尔函数与拉盖尔多项式 685

17.9.1　第一类切比雪夫多项式 687

§17.9　切比雪夫多项式 687

17.10.1　超几何方程 689

§17.10　超几何函数 689

17.9.2　第二类切比雪夫多项式 689

17.10.2　超几何级数与超几何函数 690

17.10.3　雅可比多项式 691

17.11.1　合流超几何方程与合流超几何函数 692

§17.11　合流超几何函数 692

17.10.4　超几何函数的积分表示 692

17.10.5　用超几何函数表示的富克斯型方程解的例 692

17.11.2　合流超几何函数的积分表示 693

17.11.3　惠特克方程与惠特克函数 694

17.11.4　抛物柱面函数 695

17.12.1　椭圆积分 696

§17.12　椭圆积分与椭圆函数 696

17.12.3　椭圆函数 698

17.12.2　不完全椭圆积分与完全椭圆积分 698

17.12.4　魏尔斯特拉斯椭圆函数　ζ函数　σ函数 699

17.12.6　雅可比椭圆函数 701

17.12.5　θ函数 701

18.1.1　误差和有效数字 704

§18.1　误差与近似 704

18．科学计算 704

18.1.2　稳定性和数值稳定性 705

18.1.4　里查森（Richardson）外推 706

18.1.3　收敛速度 706

18.2.1　拉格朗日插值 707

§18.2　插值法 707

18.2.2　尼维勒（Neville）算法和艾特肯（Aitken）算法 708

18.2.4　等距节点插值 709

18.2.3　牛顿插值 709

18.2.5　埃尔米特插值 710

18.2.7　分段三次埃尔米特插值 711

18.2.6　分段线性插值 711

18.2.8　三次样条插值 712

18.3.1　曲线拟合的最小二乘法 714

§18.3　曲线拟合 714

18.3.2　直线拟合 715

18.3.3　用正交函数作最小二乘拟合 716

18.4.1　求导公式 717

§18.4　数值微分 717

18.5.1　数值积分的基本概念 718

§18.5　数值积分 718

18.4.2　样条求导 718

18.5.2　牛顿-科茨公式 719

18.5.3　复化求积公式 721

18.5.5　高斯公式 722

18.5.4　龙贝格（Romberg）积分 722

18.5.6　重积分 728

18.5.7　蒙特卡洛（Monte-Carlo）法 729

18.6.1　一阶方程及单步法 731

§18.6　常微分方程的数值解法 731

18.6.2　线性多步法 734

18.6.3　一阶方程组 736

18.6.4　化高阶方程为一阶方程组 738

18.7.1　非线性方程 739

§18.7　非线性方程和非线性方程组 739

18.7.2　代数方程求根 742

18.7.3　非线性方程组 745

18.8.1　高斯消去法 746

§18.8　解线性方程组的直接方法 746

18.8.2　选主元 747

18.8.3　高斯-若尔当消去法 748

18.8.4　LU分解法 749

18.8.5　LDLT分解法 752

18.8.6 平方根法 753

18.8.7　追赶法 754

18.9.1　基本概念 755

§18.9　解线性方程组的迭代法 755

18.9.2　雅可比迭代法 756

18.9.3　高斯-赛德尔迭代法 757

18.9.4　超松弛迭代法 758

18.10.1　一些代数知识 759

§18.10　矩阵的特征值与特征向量计算 759

18.10.2　幂法 760

18.10.3　反幂法 762

18.10.5　QR方法 764

18.10.4　魏兰特（Wielandt）紧缩 764

18.10.6　雅可比方法 765

18.10.7　豪斯霍尔德方法 768

18.10.8　对称三对角阵的特征值计算 771

18.11.1　有限差分法 774

§18.11　偏微分方程的数值解法 774

§18.12　编程技巧 779

19.1.1　生成函数及其代数运算 781

§19.1　生成函数 781

19．组合论 781

19.1.2　生成函数的分析运算 788

19.1.3　普生成函数与指数生成函数间的关系 790

§19.2　复合函数的高阶导数 792

19.3.1　斯特林数 794

§19.3　斯特林数与拉赫数 794

19.3.2　拉赫数 796

19.4.2　贝尔数 797

19.4.1　伯努利数 797

§19.4　伯努利数与贝尔数 797

19.5.1　伯努利多项式 798

§19.5　伯努利多项式　贝尔多项式　求和公式 798

19.5.2　贝尔多项式 799

19.5.3　求和公式 800

19.6.1　基本概念 801

§19.6　反演公式 801

19.6.2　反演公式 803

19.6.3　二项式型多项式列 804

19.7.2　容斥原理 807

19.7.1　一些记号 807

§19.7　容斥原理 807

19.7.3　容斥原理的应用举例 808

19.8.1　有关递归关系的一些基本概念 809

§19.8　递归关系 809

19.8.2　一元线性递归关系 810

19.8.4　阿贝尔恒等式 811

19.8.3　非线性递归关系 811

19.8.5　拉姆齐定理　拉姆齐数及其应用 812

19.9.1　基本概念 814

§19.9　（0,1）矩阵 814

19.9.2　积和式与关联矩阵的性质 815

19.10.2　双随机矩阵 817

19.10.1　线秩和项秩 817

§19.10　线秩和项秩 817

20.1.1　图与子图 819

§20.1　基本概念 819

20．图论 819

20.1.2　图的运算 821

20.2.1　顶点的度 822

§20.2　通路与回路 822

20.2.2　通路与回路 823

20.2.3　赋权图与最短通路 824

20.3.2　H图 825

20.3.1　E图 825

§20.3　E图与H图 825

20.4.1　树与生成树 826

§20.4　树与割集 826

20.4.3　割集与断集 827

20.4.2　连枝集与基本回路集 827

20.5.1　邻接矩阵 828

§20.5　图的矩阵表示 828

20.5.2　关联矩阵 829

20.5.3　回路矩阵 830

20.6.1　平面图 832

§20.6　平面图 832

20.5.4　割集矩阵 832

20.6.2　对偶图 834

20.7.1　网络与流 835

§20.7　网络流 835

20.7.2　标号算法 836

21.1.1　随机过程的定义 837

§21.1　随机过程的概念 837

21．随机过程 837

21.1.2　随机过程的分布函数 838

21.1.4　两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征 839

21.1.3　随机过程的数字特征 839

21.2.1　马尔可夫过程的定义 840

§21.2　马尔可夫过程 840

21.2.2　马尔可夫链 841

21.2.3　时间连续、状态离散的马尔可夫过程 844

21.2.4　扩散过程 846

21.3.2　平稳随机过程的数字特征 848

21.3.1　平稳随机过程的定义 848

§21.3　平稳随机过程 848

21.3.3　各态历经性 849

21.3.4　相关函数的性质 851

21.3.5　平稳过程的功率谱密度 852

22.1.1　基本概念 855

§22.1　抽样分布 855

22．数理统计 855

22.1.2　经验分布 856

22.1.3　抽样分布 857

22.2.1　点估计 861

§22.2　参数估计 861

22.2.2　点估计的评价标准 862

22.2.3　区间估计 864

22.2.4　随机参数的估计 867

22.3.2　参数假设检验 870

22.3.1　假设检验的原理与基本步骤 870

§22.3　假设检验 870

22.3.3　非参数假设检验 875

22.4.1　基本概念 878

§22.4　线性模型 878

22.4.2　回归分析 879

22.4.3　方差分析 883

22.5.1　基本概念 887

§22.5　抽样调查 887

22.5.2　简单随机抽样 888

22.5.3　不等概PPS抽样 894

22.5.4　分层抽样 895

22.5.5　多阶抽样 898

22.6.1　多元数据 900

§22.6　多元数据分析 900

22.6.2　主成分分析 901

22.6.3　因子分析 904

22.6.4　多总体费歇尔判别 905

22.6.5　聚类分析 907

23.1.2　排队模型的符号表示 909

23.1.1　服务系统的分类与特征 909

23．运筹学 909

§23.1　排队论 909

23.1.3　服务系统的运行指标 910

23.1.5　排队论中常用的事件流的概率分布 911

23.1.4　状态概率及其求解的方法 911

23.1.6　单通道损失制（M/M/1/0） 913

23.1.7　多通道损失制（M/M/n/0） 914

23.1.8　单通道等待制（M/M/1） 915

23.1.9　多通道等待制（M/M/n） 916

23.1.10　单通道混合制（M/M/1/m） 918

23.1.11　多通道混合制（M/M/n/m） 920

23.1.12　M/G/1模型 921

23.1.13　M/D/1模型．M/Ek/1模型 922

23.1.14　排队系统的最优化 923

23.2.2　确定型决策问题 925

23.2.1　决策模型 925

§23.2　决策论 925

23.2.3　风险型决策问题 926

23.2.4　不确定型决策问题 930

23.3.1　基本概念 933

§23.3　对策论 933

23.3.2　存在定理 935

23.3.3　矩阵对策 936

23.3.4　矩阵对策的求解方法 939

23.4.1　基本概念 943

§23.4　存储论 943

23.4.2　确定性存储模型 944

23.4.3　随机性存储模型 945

24.1.2　系统的方程 951

24.1.1　系统的状态 951

24．控制理论 951

§24.1　基本概念 951

24.1.3　最优控制问题 953

24.2.1　时变系统的解 955

§24.2　线性状态方程的解 955

24.1.4　闭环控制与开环控制 955

24.2.3　连续状态方程的离散化 956

24.2.2　转移矩阵 956

24.2.4　离散状态方程的解 957

24.3.1　连续系统的能控性与能观测性 959

§24.3　线性系统的完全能控性与完全能观测性 959

24.3.2　离散系统的能控性与能观测性 962

24.4.1　用动态规划解离散型最优控制问题的方法 963

§24.4　动态规划方法 963

24.3.3　能控性与能观测性的对偶关系 963

24.4.3　连续系统的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 965

24.4.2　离散型随机线性二次最优控制问题的解法 965

24.4.4　连续型线性二次最优控制问题的解法 966

24.5.1　连续系统的最小值原理 967

§24.5　最小值原理 967

24.5.2　离散系统的最小值原理 968

24.6.2　卡尔曼滤波方法 969

24.6.1　基本概念 969

§24.6　随机系统的最优控制 969

24.6.3　随机控制系统的分离定理 971

25.1.1　线性规划问题的一般形式 974

§25.1　线性规划 974

25．最优化方法 974

25.1.2　化线性规划的一般形式为标准形式 975

25.1.3　线性规划问题解的概念 976

25.1.4　线性规划的基本理论 978

25.1.5　单纯形法 980

25.1.6　求初始基本可行解的人工变量法 985

25.1.7　线性规划的对偶理论 991

25.1.8　对偶单纯形法 994

25.1.9　内点法 996

25.2.1　问题与解的概念 999

§25.2　非线性规划 999

25.2.2　凸函数和凸规划 1000

25.2.3　最优性条件和对偶 1002

25.2.4　数值最优化方法的一般概念 1007

25.2.5　一维搜索法 1009

25.2.6　无约束最优化的数值方法 1011

25.2.7　约束最优化的数值方法 1014

26．数学建模 1024

§26.1　数学模型和数学建模 1024

§26.2　开普勒三定律、牛顿万有引力定律和行星运动的规律 1026

26.2.1　引言 1026

26.2.2　从开普勒三定律导出牛顿万有引力定律 1027

26.2.3　从万有引力定律导出开普勒三定律 1029

§26.3　量纲分析 1033

§26.4 日常生活中的数学模型 1036

26.4.1　复利、年金 1036

26.4.2　人口问题的数学模型 1038

26.4.3　传染病流行的数学模型 1040

26.4.4　减肥的数学模型 1042

§26.5　气象学中的Lorenz模型和确定性混沌 1043

26.6.1　随机数的生成方法 1045

§26.6　模拟方法建模 1045

26.6.2　确定性行为的模拟：曲线下的面积 1047

26.6.3　随机行为的模拟 1048

26.6.4　港口船只排队问题 1049

数学家译名表（原名-中译名） 1055

数学家译名表（中译名-原名） 1059

索引 1063