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第四章 多元函数微分学及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

1.1 多元函数的概念 1

1.2 多元函数的极限与连续 4

习题4.1 6

第二节 偏导数 7

2.1 偏导数的概念及其计算 7

2.2 高阶偏导数 10

习题4.2 12

第三节 全微分 13

3.1 全微分的概念 13

3.2 函数可微的条件 13

习题4.3 16

第四节 多元复合函数的求导法则 17

习题4.4 20

第五节 隐函数微分法 21

习题4.5 25

第六节 微分法在几何上的应用 26

6.1 空间曲线的切线与法平面 26

6.2 曲面的切平面与法线 28

习题4.6 30

第七节 方向导数与梯度 31

7.1 方向导数 31

7.2 梯度 33

7.3 场的概念简介 36

习题4.7 37

第八节 多元函数的极值及其求法 37

8.1 多元函数的极值及最大值、最小值 37

8.2 条件极值拉格朗日乘数法 41

习题4.8 45

综合习题四 45

第五章 重积分 47

第一节 二重积分的概念与性质 47

1.1 二重积分的概念 47

1.2 二重积分的性质 50

习题5.1 52

第二节 二重积分的计算 52

2.1 利用直角坐标计算二重积分 53

习题5.2.1 59

2.2 利用极坐标计算二重积分 60

习题5.2.2 64

2.3 二重积分的换元法 65

习题5.2.3 68

第三节 二重积分的应用 68

3.1 曲面的面积 68

3.2 平面薄片的重心 71

3.3 平面薄片的转动惯量 73

3.4 平面薄片对质点的引力 74

习题5.3 76

第四节 三重积分的概念与计算 76

4.1 三重积分的概念与在直角坐标系中的计算 76

4.2 三重积分的换元法 80

4.3 三重积分的应用 85

习题5.4 87

综合习题五 89

第六章 曲线积分与曲面积分 91

第一节 对弧长的曲线积分 91

1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 91

1.2 对弧长的曲线积分的计算 93

习题6.1 96

第二节 对坐标的曲线积分 97

2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 97

2.2 对坐标的曲线积分的计算 100

2.3 两类曲线积分之间的联系 103

习题6.2 104

第三节 格林公式 105

3.1 格林公式 105

3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 109

3.3 原函数 111

习题6.3 115

第四节 对面积的曲面积分 116

4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 116

4.2 对面积的曲面积分的计算 117

习题6.4 121

第五节 对坐标的曲面积分 121

5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 121

5.2 对坐标的曲面积分的计算 124

5.3 两类曲面积分之间的联系 127

习题6.5 129

第六节 高斯公式 通量与散度 129

6.1 高斯公式 129

6.2 通量与散度 134

6.3 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 136

习题6.6 137

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 138

7.1 斯托克斯公式 138

7.2 环流量与旋度 141

7.3 空间曲线积分与路径无关的条件 143

习题6.7 145

综合习题六 146

第七章 无穷级数 148

第一节 常数项级数的概念和性质 148

1.1 常数项级数的概念 148

1.2 无穷级数的基本性质 150

习题7.1 152

第二节 常数项级数的审敛法 153

2.1 正项级数及其审敛法 153

2.2 交错级数及其审敛法 159

2.3 绝对收敛与条件收敛 161

习题7.2 163

第三节 幂级数 164

3.1 函数项级数的概念 164

3.2 幂级数及其收敛性 164

3.3 幂级数的运算 169

习题7.3 171

第四节 函数展开成幂级数 172

4.1 泰勒(Taylor)级数 172

4.2 函数展开成幂级数 174

习题7.4 179

第五节 函数的幂级数展开式的应用 180

5.1 计算函数的近似值 180

5.2 计算定积分的近似值 181

5.3 欧拉公式 183

习题7.5 184

第六节 傅立叶级数 184

6.1 三角级数三角函数系的正交性 184

6.2 函数展开成傅立叶级数 186

习题7.6 190

第七节 正弦级数和余弦级数 191

7.1 奇函数和偶函数的傅立叶级数 191

7.2 函数展开成正弦级数或余弦级数 193

习题7.7 195

第八节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 195

习题7.8 197

综合习题七 198

第八章 常微分方程 199

第一节 微分方程的基本概念 199

1.1 数学模型(引例) 199

1.2 微分方程的基本概念 203

习题8.1 205

第二节 一阶微分方程 205

2.1 变量可分离方程 205

2.2 可化为变量可分离的方程 206

2.3 一阶线性微分方程 209

2.4 伯努利(Bernoulli)方程 211

2.5 全微分方程(恰当方程)与积分因子 213

习题8.2 216

第三节 可降阶的高阶微分方程 217

3.1 y(n)=f(x)型微分方程 217

3.2 y″=f(x，y′)型微分方程 218

3.3 y″=f(y，y′)型微分方程 218

习题8.3 219

第四节 高阶线性微分方程 219

4.1 高阶线性微分方程的解的结构 220

4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 222

4.3 n阶常系数齐次线性微分方程 225

4.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 225

习题8.4 233

第五节 微分方程的应用举例 233

5.1 几何问题 233

5.2 流量问题 236

5.3 建筑问题 237

5.4 振动问题 239

5.5 运动问题 241

习题8.5 243

第六节 欧拉方程 243

习题8.6 245

第七节 一阶常系数线性微分方程组 245

习题8.7 246

综合习题八 246

习题答案 248