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第一章 概率与概率空间 1

1.1 引言 1

1.1.1 随机现象与随机数学 1

1.1.2 概率论的简单发展历史 2

1.2 随机事件及其概率 3

1.2.1 对称情形的随机事件的描述及等可能性分析 3

1.2.2 事件的运算 6

1.2.3 加法公理 7

1.3 概率空间及概率的计算 13

1.3.1 概率空间 13

1.3.2 概率的性质及计算 15

1.4 条件概率与Bayes公式 18

1.4.1 条件概率 18

1.4.2 乘法公式 20

1.4.3 全概率公式 22

1.4.4 Bayes公式(逆概率公式) 27

1.5 事件的独立性和相关性 32

1.5.1 两事件的独立性与相关性 32

1.5.2 多个事件的独立性 35

1.5.3 系统的可靠性 39

第一章评注 41

习题1 42

第二章 离散随机变量与随机徘徊 48

2.1 随机变量及其分布 48

2.1.1 随机变量的概念 48

2.1.2 随机变量的分布 48

2.1.3 Bernoulli概型与二项分布 51

2.1.4 多维随机变量的概率分布 52

2.2 随机变量的数字特征 54

2.2.1 随机变量的数学期望(均值)概念的抽象 54

2.2.2 随机变量的函数及其数学期望 57

2.2.3 数学期望的性质 59

2.2.4 数学期望的统计意义 63

2.2.5 方差 64

2.3 离散型随机变量的条件分布，独立性与相关性的描述 65

2.3.1 离散型随机变量的条件分布 65

2.3.2 随机变量的独立性 69

2.3.3 协方差与相关系数 73

2.3.4 分布的熵 79

2.4 条件数学期望 81

2.4.1 条件数学期望的概念 81

2.4.2 条件数学期望的性质 82

2.4.3 作为随机变量的条件数学期望 85

2.5 随机徘徊——一个简单的随机过程 86

2.5.1 从Bernoulli试验到随机徘徊 86

2.5.2 简单随机徘徊取值的统计规律的刻画 89

2.5.3 随机过程的定义 91

2.5.4 独立增量过程及随机徘徊的独立增量性 92

第二章评注 93

习题2 94

第三章 Poisson分布与Poisson过程 100

3.1 Poisson分布 100

3.1.1 保险理赔次数与Poisson分布 100

3.1.2 Poisson分布的性质 103

3.2 Poisson过程及其应用 107

3.2.1 Poisson过程 107

3.2.2 Poisson过程的应用举例 110

第三章评注 114

习题3 115

第四章 连续型随机变量 118

4.1 概率密度函数 118

4.2 数学期望 122

4.3 几类重要的连续型随机变量的分布 125

4.4 二维连续型随机向量，连续型随机变量的独立性与相关性 130

4.5 条件分布与条件数学期望 135

4.6 随机变量的函数的分布 143

4.7 随机数生成介绍 146

4.7.1 随机数与伪随机数 147

4.7.2 逆变换法 147

4.7.3 Von Neumann取舍原则(Rejection Principle) 149

第四章评注 151

习题4 152

第五章 Brown运动与特征函数 159

5.1 特征函数及其性质 159

5.2 多维Gauss分布、多维正态分布及其特征函数 165

5.3 Brown运动以及它的分布 172

5.4 Brown运动的简单特性 175

第五章评注 178

习题5 179

第六章 从极限定理到Donsker不变原理 183

6.1 大数定律与依概率收敛 183

6.2 中心极限定理 188

6.3 Donsker不变原理 192

第六章评注 193

习题6 194

第七章 Markov链 198

7.1 Markov链的概念、刻画与例子 198

7.1.1 Markov链及其转移概率矩阵 198

7.1.2 Markov链的简单例子 200

7.1.3 n步转移概率与Chapman-Kolmogorov方程 203

7.2 Markov链的状态分类 205

7.3 Markov链的转移概率的极限与不变分布 210

第七章评注 215

习题7 215

附表1 几种常见的概率分布 219

附表2 标准正态分布表 220

附表3 Poisson分布表 221

部分习题答案 223

名词索引 242