随机方法手册PDF电子书下载

1．历史介绍 1

1.1 动机 1

1.2 一些历史实例 2

1.2.1 布朗运动 2

1.2.2 郎之万方程 6

1.3 生灭过程 9

1.4 电子系统中的噪声 12

1.4.1 散粒噪声 12

1.4.2 自相关函数与谱 17

1.4.3 涨落函数的傅里叶分析：平稳系统 19

1.4.4 约翰逊噪声与尼奎斯定理 20

2．概率概念 23

2.1 事件和事件集 23

2.2.1 概率公理 24

2.2 概率 24

2.2.2 P（A）的意义 25

2.2.3 公理的意义 26

2.2.4 随机变量 26

2.3 联合概率和条件概率：独立性 27

2.3.1 联合概率 27

2.3.2 条件概率 28

2.3.3 不同次序的联合概率间的关系 29

2.3.4 独立性 29

2.4 均值和概率密度 30

2.4.1 由任意函数的均值确定概率密度 31

2.4.2 零概率集 32

2.5 均值 32

2.5.1 矩、相关和协方差 33

2.5.2 大数法则 34

2.6 特征函数 35

2.7 累积母函数：相关函数和累积量 36

2.7.1 例：4阶累积量：《X1X2X3X4》 38

2.7.2 累积量的意义 39

2.8 高斯和泊松概率分布 39

2.8.1 高斯分布 39

2.8.2 中心极限定理 41

2.8.3 泊松分布 42

2.9 随机变量序列的极限 43

2.9.1 几乎必然极限 44

2.9.2 均方极限（依均方收敛） 44

2.9.3 随机极限（依概率收敛） 44

2.9.4 依分布收敛 45

2.9.5 各极限之间的关系 45

3．马尔可夫过程 46

3.1 随机过程 46

3.2 马尔可夫过程 47

3.2.1 相容性——查普曼-柯尔莫哥洛夫方程 48

3.2.2 离散状态空间 49

3.2.3 更一般的测度 49

3.3 随机过程连续性 49

3.3.1 连续马尔可夫过程的数学定义 51

3.4 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程 52

3.4.1 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程的推导 53

3.4.2 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程的地位 57

3.5 条件和结论的解释 58

3.5.1 跳过程：主方程 58

3.5.2 扩散过程——福克-普朗克方程 59

3.5.3 确定性过程——刘维方程 60

3.5.4 一般过程 61

3.6 初始时刻的时间发展方程——后向方程 62

3.7 平稳齐次马尔可夫过程 64

3.7.1 遍历性质 65

3.7.2 齐次过程 67

3.7.3 趋向于平稳过程 69

3.7.4 马尔可夫过程的自相关函数 73

3.8 马尔可夫过程的例子 75

3.8.1 维纳过程 76

3.8.2 一维随机游动 80

3.8.3 泊松过程 83

3.8.4 奥恩斯坦-乌伦贝克过程 85

3.8.5 随机电报过程 88

4．伊藤分析和随机微分方程 91

4.1 动机 91

4.2 随机积分 94

4.2.1 随机积分的定义 94

4.2.2 例子？W（t′）dW（t′） 96

4.2.3 斯特拉托诺维奇积分 97

4.2.4 非可料函数 98

4.2.5 dW（t）2＝dt和dW（t）2＋N＝0的证明 99

4.2.6 伊藤随机积分的性质 101

4.3 随机微分方程（SDE） 105

4.3.1 伊藤随机微分方程：定义 106

4.3.2 伊藤随机微分方程的解的马尔可夫性质 108

4.3.3 变量代换：伊藤公式 108

4.3.4 福克-普朗克方程和随机微分方程之间的联系 110

4.3.5 多变量系统 111

4.3.6 斯特拉托诺维奇随机微分方程 112

4.3.7 对初始条件和参数的依赖性 117

4.4 一些例子和解 118

4.4.1 不依赖于x的系数 118

4.4.2 乘积线性白噪声过程 119

4.4.3 具有噪声频率的复振子 121

4.4.4 奥恩斯坦-乌伦贝克过程 122

4.4.5 从直角坐标到极坐标的转换 124

4.4.6 多变量奥恩斯坦-乌伦贝克过程 126

4.4.7 一般的单变量线性方程 129

4.4.8 多变量线性方程 131

4.4.9 与时间有关的奥恩斯坦-乌伦贝克过程 133

5．福克-普朗克方程 135

5.1 背景 135

5.2 一维福克-普朗克方程 136

5.2.1 边界条件 137

5.2.2 齐次福克-普朗克方程的平稳解 143

5.2.3 一些平稳解的例子 145

5.2.4 后向福克-普朗克方程的边界条件 147

5.2.5 本征函数方法（齐次过程） 149

5.2.6 一些例子 151

5.2.7 齐次过程的首次通过时间 156

5.2.8 经由区间的一特定端点出口的概率 162

5.3 多维福克-普朗克方程 164

5.3.1 变量的代换 164

5.3.2 边界条件 167

5.3.3 平稳解：位势条件 168

5.3.4 细致平衡 169

5.3.5 细致平衡的推论 172

5.3.6 福克-普朗克方程中的若干细致平衡例子 178

5.3.7 多变量齐次过程情况下的本征函数方法 188

5.4 区域的首次出口时间（齐次过程） 194

5.4.1 平均出口时间问题的解 195

5.4.2 出口点的分布 198

6．扩散过程的近似方法 201

6.1 小噪声摄动理论 201

6.2 随机微分方程的小噪声展开 204

6.2.1 展开的有效性 207

6.2.2 （齐次过程的）平稳解 208

6.2.3 均值、方差与时间相关函数 209

6.2.4 小噪声摄动理论的失效 210

6.3 福克-普朗克方程的小噪声展开 213

6.3.1 矩方程及自相关函数 215

6.3.2 例子 218

6.3.3 平稳分布的渐近方法 220

6.4 快变变量的绝热消去 221

6.4.1 利用算子及投影算子的抽象表述 224

6.4.2 使用拉普拉斯变换的解法 227

6.4.3 短期行为 229

6.4.4 边界条件 231

6.4.5 系统的摄动分析 233

6.5 白噪声过程作为非白噪声过程的极限 237

6.5.2 更一般的涨落方程 242

6.5.1 结果的一般性 242

6.5.3 非齐次系统 243

6.5.4 算子L1与时间相依的后果 244

6.6 快变变量的绝热消去：一般情况 245

6.6.1 例子：短寿命中间化合物的消去 245

6.6.2 哈肯模型中的绝热消去法 251

6.6.3 快变变量的绝热消去：非线性情况 255

6.6.4 任意非线性耦合的例子 260

7．主方程与跳过程 263

7.1 生灭主方程——单变量情况 264

7.1.1 平稳解 264

7.1.2 例子：化学反应X？A 266

7.1.3 一个化学双稳系统 270

7.2 用福克-普朗克方程逼近主方程 274

7.2.1 扩散过程的跳过程近似 274

7.2.2 克雷默斯-莫耶尔展开 278

7.2.3 范坎彭的系统大小展开 279

7.2.4 库尔茨定理 284

7.2.5 临界涨落 285

7.3 生灭过程的边界条件 287

7.4 平均首次通过时间 289

7.4.1 吸收概率 291

7.4.2 与福克-普朗克方程的比较 291

7.5 多变量生灭系统 292

7.5.1 细致平衡成立时的平稳解 294

7.5.2 没有细致平衡时的平稳解 296

7.5.3 系统大小展开与有关的展开 296

7.6 某些例子 298

7.6.1 X＋A？2X 298

7.6.2 X？Y？A（＊） 298

7.6.3 被捕食-捕食系统 299

7.6.4 母函数方程 305

7.7 泊松表示 309

7.7.1 泊松表示的种类 314

7.7.2 实泊松表示 314

7.7.3 复泊松表示 315

7.7.4 正泊松表示 319

7.7.5 时间相关函数 323

7.7.6 三分子反应 330

7.7.7 三阶噪声 335

8．空间分布系统 340

8.1 背景 340

8.1.1 泛函福克-普朗克方程 343

8.2 多变量主方程的描述 344

8.2.1 扩散 344

8.2.2 扩散主方程的连续形式 346

8.2.3 反应与扩散的结合 351

8.3 空间和时间相关结构 353

8.2.4 泊松表示法 353

8.3.1 反应X？Y 354

8.3.2 反应B＋X？C，A＋X？2X 358

8.3.3 两级相变的非线性模型 364

8.4 局部和整体描述之间的关系 369

8.4.1 非均匀模式的明显绝热消去法 369

8.5 相空间的主方程 372

8.5.1 流动的处理方法 372

8.5.2 作为生灭过程的流 373

8.5.3 包含碰撞在内的情况——玻耳兹曼主方程 377

8.5.4 碰撞和流同时存在 380

9．双稳定性、亚稳定性和逃逸问题 385

9.1 在双井势中的扩散（单变量） 385

9.1.1 D＝0时的行为 386

9.1.2 D非常小时的行为 387

9.1.3 出口时间 388

9.1.4 分裂概率 389

9.1.5 来自非稳态的衰变 391

9.2 在每个势井中的粒子数平衡 392

9.2.1 克雷默斯方法 393

9.2.2 例子：糜蛋白酶的可逆质变 397

9.2.3 生灭主方程（单变量）的双稳定性 399

9.3 多变量系统中的双稳定性 402

9.3.1 出口点的分布 403

9.3.2 平均出口时间的渐近分析 408

9.3.3 多维空间中的克雷默斯方法 409

9.3.4 例子：双势井中的布朗运动 412

10．量子力学马尔可夫过程 419

10.1 谐振子的量子力学 420

10.1.1 与外场的相互作用 421

10.1.2 相干态的性质 422

10.2 密度矩阵和概率 426

10.2.1 冯·诺伊曼方程 428

10.2.2 格劳伯-苏达香P表示 429

10.2.3 算子对应 430

10.2.4 对受迫谐振子的应用 431

10.2.5 量子特征函数 433

10.3 量子马尔可夫过程 435

10.3.1 热槽 435

10.3.2 槽算子平滑函数的相关 437

10.3.3 与热槽发生相互作用的系统的量子主方程 438

10.4 量子马尔可夫过程的例子及应用 442

10.4.1 谐振子 442

10.4.2 被驱动的双能级原子 447

10.5 量子马尔可夫过程中的时间相关函数 452

10.5.1 量子回归定理 454

10.5.2 P表示对谐振子的应用 455

10.5.3 双能级原子的时间相关 458

10.6 广义的P表示 459

10.6.1 广义P表示的定义 460

10.6.2 存在性定理 462

10.6.3 关于泊松表示 464

10.6.4 算子恒等式 465

10.7 广义P表示对时间演化方程的应用 466

10.7.1 复P表示 467

10.7.2 正P表示 468

10.7.3 例子 470

参考文献 472

参考书目 478

符号索引 482

作者索引 486

论题索引 489