常微分方程 下PDF电子书下载

第七章 数值解法基础 1

1 预备知识 3

1.1 差分与差分方程 3

1.2 插值公式及其余项 9

1.3 积分公式及其误差估计 14

1.4 牛顿迭代法 17

2 单步法 22

2.1 欧拉公式及其改进 22

2.2 泰勒展开法 24

2.3 龙格——库塔法与二阶公式 27

2.4 高阶的龙格——库塔型公式 30

2.5 隐式与半隐式的龙格——库塔型公式 36

2.6 相容性与收敛性 41

3 线性多步法 47

3.1 方法的阶数与误差常数 47

3.2 数值积分与插值技巧的应用 50

3.3 相容性与收敛性 55

3.4 特征多项式与零稳定 60

3.5 关于算法的优化问题与分类 63

4 数值稳定性与其他算法 69

4.1 绝对稳定性 70

4.2 相对稳定性 73

4.3 稳定区间的确定 77

4.4 方法的结合问题 80

4.5 预估——校正法及其局部截断误差(米尔尼算法) 83

4.6 关于预估——校正法的稳定性问题(哈明算法) 88

4.7 多项式外推法及其应用 96

第八章 一般基础理论 102

1 一般基础理论的研究概况 102

2 预备知识和某些重要结果 105

2.1 基本存在定理 105

2.2 解的延展与饱和解 108

2.3 比较定理与最大最小解的存在 115

2.4 微分、积分不等式——基本引理 122

3 解的存在唯一性定理 134

3.1 李普希兹定理与比卡逐步逼近法 135

3.2 柯西定理与优函数方法 141

3.3 利用不动点原理证明解的存在性 146

3.4 右端不连续系统解的存在唯一性 149

4 解的整体存在和非整体存在问题 156

4.1 预备知识 157

4.2 解的整体存在性准则 163

4.3 解的非整体存在性准则 171

5 解的唯一性问题的进一步讨论 178

6 解对初值和参数的各种相依性定理 196

6.1 解对初值的连续性定理 196

6.2 解对参数的连续性定理 198

6.3 解对初值和参数的连续性定理 200

6.4 解对初值和参数的可微性定理 203

第九章 定性、稳定性和最优控制理论 212

一 一般定性理论 212

1 奇点邻域中相轨线的性状 216

1.1 一次奇点 216

1.2 高次奇点·研究奇点邻域的富罗麦尔方法 228

1.3 无穷远奇点 254

2 相平面有界域中轨线的研究·极限环 260

2.1 庞加来——班狄克生理论 260

2.2 极限环(闭轨)的存在性 267

2.3 奇点的庞加来指标 281

2.4 极限环的重次与稳定性 284

2.5 极限环的唯一性 292

2.6 极限环的个数与相对位置、二次系统的极限环 298

3 轨线的全局结构 305

3.1 奇轨线的概念及其分类、鞍点分界线 305

3.2 子域、子域内轨线的性状 311

3.3 轨线全局结构的例子 314

二 稳定性理论 318

4 基本概念和定义 318

4.1 稳定性概念 318

4.2 v 函数的定义 325

5 判别稳定性的基本定理和方法 330

5.1 v 函数方法判别稳定性的基本定理 331

5.2 按第一近似决定稳定性 343

6 大系统的稳定性分析 355

6.1 加权和 v 函数方法 356

6.2 比较原理和向量 v 函数方法 367

7 李雅普诺夫函数的存在与作法问题 381

7.1 李雅普诺夫函数的存在问题(逆转问题) 381

7.2 v 函数的某些作法和应用 384

三 最优控制理论 416

8 最优控制问题的一般数学描述 416

8.1 控制问题的实例 416

8.2 最优控制问题的一般数学描述 424

9 求解最优控制问题的解析方法 430

9.1 变分方法 430

9.2 动态规划方法 447

9.3 最小(大)值原理 456

10 线性控制理论与最优调节问题 475

10.1 线性系统的能控性与能观测性 475

10.2 线性二次型的最优控制问题 482

10.3 线性二次型的最优调节问题 493

10.4 非线性控制系统的最优调节问题 509

习题解答或提示 521

参考文献及有关书目资料 542