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第一章 矢量分析 1

1.1 标量场的梯度 1

一、方向导数 1

理论物理自学丛书前言 1

二、梯度 3

三、有关梯度的一些运算规则 6

四、等量面(线)和梯度 7

1.2 矢量场的散度 9

一、矢量线 9

二、通量 9

三、散度 10

四、有关散度的一些运算规则 14

一、环量 16

1.3 矢量场的旋度 16

二、绕轴线的旋度 17

三、斯托克斯公式 21

四、旋度 23

五、有关旋度的一些运算规则 26

1.4 无散场和无旋场 28

一、无散场(管量场) 29

二、无旋场(有势场) 31

1.5 正交曲线坐标系 35

一、柱面坐标 36

二、平面极坐标 39

三、球面坐标 40

本章小结 43

习题 44

第二章 复变函数 46

2.1 复数和复数运算 46

一、复数及其三种表示法 46

二、复数的运算 48

三、无限远点 51

2.2 复变函数 52

一、复变数·函数·区域 52

二、初等复变函数 52

三、多值函数·里曼面 55

四、实变函数论的直接移植 56

二、科希-里曼方程 57

一、导数 57

2.3 复变函数的导数 57

三、导数的几何意义 59

2.4 解析函数 61

一、共轭调和函数 61

二、正交曲线网 64

2.5 科希定理与科希公式 66

一、科希定理 67

二、科希公式 70

2.6 级数展开式 72

一、复数项级数概述 72

二、泰勒级数 74

三、罗朗级数 76

四、奇点的分类 80

2.7 残数定理及其应用 81

一、残数定理 81

二、极点的残数之计算 82

三、∫20Rπ(cosθ，sinθ)dθ型的积分 85

四、∫?f(x)dx型的积分 87

五、约当引理 89

六、∫F(x)cosmxdx和∫?0 G(x)sinmxdx 型的积分 90

七、实轴上有单极点的情况 92

本章小结 94

习题 95

第三章 数学物理定解问题 101

3.1 数学物理方程的导出 101

一、均匀弦的横振动 102

二、均匀杆的纵振动 103

三、传输线方程(电报方程) 104

四、其他振动方程 106

五、热传导方程 106

六、扩散方程 108

七、稳定温度分布 108

八、稳定浓度分布 109

九、静电场方程 109

十、其他例子 109

3.2 数学物理方程的分类 110

一、线性二阶偏微分方程 110

二、两个自变数的方程的分类 111

三、多自变数的方程的分类 114

四、常系数线性方程 115

3.3 定解条件 116

一、初始条件 116

二、边界条件 117

三、衔接条件 119

3.4 定解问题是一个整体 119

一、达朗伯公式 120

二、定解问题是一个整体 123

三、定解问题的适定性 123

本章小结 125

习题 125

一、分离变数法介绍 128

4.1 齐次方程的分离变数法 128

第四章 分离变数法基础 128

二、傅里叶级数法 133

三、例题 135

4.2 非齐次振动方程和输运方程 151

一、傅里叶级数法 151

二、冲量定理法 153

三、冲量定理的物理思想 160

4.3 非齐次边界条件之处理 161

4.4 泊松方程 163

本章小结 168

习题 168

5.1 特殊函数常微分方程 171

一、拉普拉斯方程△u=o 171

第五章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 171

二、波动方程 178

三、输运方程 179

四、亥姆霍兹方程△ν+K2v＝0 179

5.2 常点邻域上的级数解法 182

一、常点邻域上的级数解法 183

二、勒让德方程·自然边界条件 188

5.3 正则奇点邻域上的级数解法 193

一、正则奇点邻域上的级数解法 193

二、贝塞耳方程 198

5.4 斯特姆-刘维本征值问题 206

一、斯特姆-刘维本征值问题 207

二、斯特姆-刘维本征值问题的共同性质 209

三、广义傅里叶级数 212

四、复数的本征函数族 213

本章小结 214

习题 215

第六章 球函数 218

6.1 轴对称球函数 218

一、勒让德多项式 219

二、勒让德多项式的正交关系 225

三、勒让德多项式的模 226

四、广义博里叶级数 228

五、拉普拉斯方程的轴对称定解问题 232

六、母函数和递推公式 239

6.2 缔合勒让德函数 244

一、缔合勒让德函数 245

二、缔合勒让德函数的正交关系 248

三、缔合勒让德函数的模 249

四、广义傅里叶级数 250

6.3 一般的球函数 254

一、球函数 254

二、球函数的正交关系 255

三、球面上的函数展开 256

本章小结 259

习题 260

第七章 柱函数 262

一、贝塞耳函数 263

7.1 贝塞耳函数(第一类柱函数) 263

二、贝塞耳函数的正交关系 267

三、贝塞耳函数的模 267

四、傅里叶-贝塞耳级数 269

五、拉昔拉斯方程的定解问题 272

六、母函数、积分表示和渐近公式 277

7.2 诺埃曼函数(第二类柱函数) 279

7.3 汉克函数(第三类柱函数) 282

7.4 虚宗量贝寨耳方程 286

一、虚宗量贝塞耳函数 287

二、虚宗量诺埃曼函数 291

三、虚宗量汉克函数 291

7.5 　球贝塞耳方程 292

一、球贝塞耳函数和球诺埃曼函数 293

二、本征值问题 295

四、球贝塞耳函数的模 296

三、球贝塞耳函数的正交关系 296

五、广义傅里叶级数 297

六、球汉克函数 299

七、小x处的近似公式 302

本章小结 303

习题 304

第八章 δ函数与格林函数 306

8.1 δ函数 306

一、δ函数的引入 306

二、δ函数的性质 307

三、δ函数的傅里叶级数 310

一、非齐次振动方程的定解问题 311

8.2 格林函数法 311

二、非齐次输运方程的定解问题 315

8.3 拉普拉斯方程边值问题的积分公式 317

一、解的积分公式 317

二、镜象法 323

本章小结 326

习题 327

第九章 积分变换 328

9.1 傅里叶变换 328

一、实数形式的傅里叶积分 329

二、复数形式的傅里叶积分 334

三、广义傅里叶变换 337

四、傅里叶变换的基本性质 340

五、多重傅里叶积分 345

9.2 傅里叶变换应用于定解问题 346

9.3 拉普拉斯变换 356

一、拉普拉斯变换 360

二、拉昔拉斯变换的基本性质 360

9.4 拉普拉斯变换的应用 362

本章小结 366

习题 366

第十章 保角变换法简介 369

10.1 保角变换法基本思想 369

10.2 几种常用的保角变换 370

一、线性变换 370

二、幂函数和根式 371

三、指数函数和对效函数 373

四、分式线性变换 374

五、儒阔夫斯基变换 376

六、多角形变换 378

习题 379

附录 380

一、勒让德方程的级数解(5-2-6)和(5-2-7)在x=±1发散 380

二、函数P-ml(x) 382

三、贝塞耳函数 384

四、诺埃曼函数 388

五、定积分公式∫-e-ω2a2eβ？dω=??eβ2/4a2 389

六、高斯函数和误差函数 390

七、拉普拉斯变换简表 391

习题答案 394