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第一章 绪论 1

1.1 算法 1

1.1.1 算法的表述形式 1

1.1.2 算法的基本特点 1

1.2 误差 3

1.2.1 误差的来源 3

1.2.2 误差的基本概念 4

1.2.3 有效数字 5

1.3 设计算法时应注意的原则 6

1.3.1 数值运算时误差的传播 6

1.3.2 算法中应避免的问题 7

习题一 8

第二章 线性方程组的直接解法 9

2.1 引言 9

2.2 高斯消元法 9

2.2.1 高斯消元法的基本思想 9

2.2.2 高斯消元法公式 10

2.2.3 高斯消元法的条件 12

2.2.4 高斯消元法的计算量估计 12

2.3 选主元的高斯消元法 13

2.3.1 列主元消元法 13

2.4 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法 14

2.3.2 全主元消元法 14

2.4.1 高斯-若当消元法 15

2.4.2 求方阵的逆 16

2.5 矩阵的 LU 分解 17

2.5.1 矩阵的 LU 分解 17

2.5.2 直接 LU 分解 18

2.5.3 方阵行列式求法 20

2.6.1 矩阵的 LDU 分解 21

2.6.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解 21

2.6 平方根法 21

2.5.4 克劳特分解 21

2.6.3 平方根法和改进的平方根法 22

2.7 追赶法 23

2.8 向量和矩阵的范数 25

2.8.1 向量范数 25

2.8.2 矩阵范数 26

2.8.3 谱半径 27

2.8.4 条件数及病态方程组 28

习题二 31

3.2.1 简单迭代法 33

3.2 几种常用的迭代法公式 33

3.1 迭代法的一般形式 33

第三章 线性方程组的迭代解法 33

3.2.2 塞德尔迭代法 35

3.2.3 逐次超松弛法(SOR方法) 36

3.3 迭代法的收敛条件 37

3.3.1 迭代法的一般形式的收敛条件 37

3.3.2 从矩阵 A 判断收敛的条件 40

习题三 43

4.1 幂法和反幂法 45

4.1.1 幂法 45

第四章 方阵特征值和特征向量计算 45

4.1.2 幂法的其他复杂情况 46

4.1.3 反幂法 47

4.1.4 原点平移加速 48

4.1.5 求已知特征值的特征向量 49

4.2 雅可比方法 50

4.2.1 平面旋转矩阵 51

4.2.2 古典雅可比方法 53

4.2.3 过关雅可比方法 53

4.3 QR 方法 55

4.3.1 豪斯豪德尔变换 55

4.3.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵 56

4.3.3 矩阵的正交三角分解 57

4.3.4 QR 方法 58

习题四 59

第五章 方程求根 60

5.1 对分法 60

5.2 迭代法 62

5.2.1 迭代法的基本思想 62

5.2.2 迭代法的几何解释 63

5.2.3 迭代法的收敛条件 63

5.3.1 松弛法 65

5.3 迭代法的加速 65

5.3.2 埃特金方法 66

5.4 牛顿法 68

5.4.1 牛顿法的基本思想 68

5.4.2 牛顿法的几何意义 68

5.4.3 迭代法的收敛速度 69

5.4.4 牛顿法的收敛速度 69

5.5 割线法 70

5.6 抛物线法 70

习题五 72

6.1.1 线性插值 74

6.1 拉格朗日插值 74

第六章 插值法与数值微分 74

6.1.2 二次插值 75

6.1.3 n 次插值 76

6.2 插值多项式的唯一性及误差估计 77

6.2.1 插值多项式的唯一性 77

6.2.2 插值公式的余项 77

6.3 牛顿插值 79

6.3.1 差商 79

6.3.2 牛顿插值公式 80

6.4.1 埃尔米特插值多项式 82

6.4 埃尔米特插值 82

6.4.2 误差估计 83

6.5 分段插值 85

6.5.1 分段线性插值 86

6.5.2 分段埃尔米特插值 87

6.6 样条插值 89

6.6.1 样条插值的基本概念 89

6.6.2 样条插值公式 89

6.6.3 样条插值的收敛性 91

6.7 数值微分 91

习题六 93

7.1.2 函数逼近 96

7.1.1 数据拟合 96

第七章 数据拟合和函数逼近 96

7.1 拟合与逼近的概念 96

7.2 超定方程组的最小二乘解 97

7.3 多项式拟合 98

7.4 多项式拟合中克服正规方程组的病态 101

7.5 最佳一致逼近多项式 103

7.5.1 线性赋范空间 103

7.5.2 最佳一致逼近多项式 103

7.5.3 最佳一致逼近多项式的特征 103

7.6.1 内积和内积空间 105

7.6 最佳平方逼近多项式 105

7.6.2 最佳平方逼近多项式 106

7.7 正交多项式系 108

7.7.1 正交函数系 108

7.7.2 正交多项式系 108

7.7.3 正交多项式在逼近和拟合中的应用 111

7.8 近似最佳一致逼近多项式 112

7.8.1 切比雪夫多项式的性质 112

7.8.2 切比雪夫节点插值 113

7.8.3 缩减幂级数法 114

习题七 115

第八章 数值积分 117

8.1 求积公式 117

8.1.1 求积公式 117

8.1.2 求积公式的余项和代数精度 117

8.1.3 矩形求积公式 118

8.1.4 内插求积公式 118

8.2 牛顿-柯特斯公式 119

8.2.1 梯形公式 119

8.2.2 抛物形公式 120

8.2.3 牛顿-柯特斯公式 121

8.3 复化求积公式 123

8.3.1 复化梯形公式 123

8.3.2 复化抛物形公式 126

8.4 龙贝格求积公式 127

8.5 高斯型求积公式 130

8.5.1 最高代数精度的求积公式 130

8.5.2 几个常用的高斯型求积公式 132

习题八 136

9.1.1 基本知识复习 137

9.1.2 一阶常微分方程组和高阶常微分方程 137

9.1 引言 137

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 137

9.2 欧拉方法 138

9.2.1 欧拉方法的导出 138

9.2.2 欧拉隐式公式和欧拉中点公式 139

9.2.3 局部截断误差和方法的阶 139

9.2.4 梯形公式及其预估-校正法 140

9.3 龙格-库塔法 142

9.3.1 二阶 R-K 方法 142

9.3.2 四阶 R-K 方法 144

9.4.1 用待定系数法构造线性多步法 145

9.4 线性多步法 145

9.4.2 用数值积分法构造线性多步法公式 148

9.5 预估-校正法 149

9.5.1 阿达姆斯公式的 PEC 模式 150

9.5.2 阿达姆斯公式的 PMECME 模式 150

9.5.3 哈明法-PMECME 模式 151

9.6 一阶常微分方程组和高阶方程 152

9.6.1 一阶常微分方程组 152

9.6.2 高阶常微分方程 152

9.7 收敛性与稳定性简介 153

习题九 154

参考书目 156